Векторное поле

Векторным полем называется часть пространства, каждой точке которого поставлен в соответствие определённый вектор.

Примеры векторных полей: 1) поле скоростей текущей жидкости;
2) силовые поля: электрическое, магнитное, гравитационное.

Векторное поле считается заданным, если в каждой его точке М определена векторная функция . Если векторное поле отнесено к декартовой системе координат, то векторную функцию можно записать в виде:

.

Простейшей геометрической характеристикой векторного поля являются векторные линии.

Векторные линии – это линии, в каждой точке которой касательная имеет направление соответствующего ей вектора.

Примеры векторных линий: 1) если рассматривается поле скоростей текущей жидкости, то векторные линии суть линии тока этой жидкости, т.е. траектории движения частиц жидкости; 2) для геометрического представления магнитного поля используются магнитные силовые линии (для экспериментального изображения магнитных силовых линий используют металлические опилки, насыпанные на лист бумаги, в магнитном поле эти опилки выстраиваются вдоль силовых линий).

Замечание. Наряду с понятием векторной линией, часто используется также и понятие векторной трубки. Векторной трубкой называется поверхность, образованная векторными линиями, проходящими через точки некоторой лежащей в поле замкнутой кривой, не совпадающей (даже частично) с какой-либо векторной линией.

В вопросах, связанных с изучением полей важную роль играет задача о нахождении векторной линии поля , проходящей через заданную точку M. Пусть уравнение векторной линии имеет вид

, ,

или в векторной форме

.

По условию в каждой точке этой линии вектор поля направлен по касательной к ней. Из геометрического смысла производной известно, что производная любой функции определяет направление касательной к этой функции. Поэтому, производная направлена по касательной к векторной линии. Следовательно, векторы и – коллинеарны. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны. В результате получаем

(1.1)

Это есть система дифференциальных уравнений для нахождения уравнений векторных линий.

Пример 1.2. Найти уравнение векторных линий векторного поля

.

Решение. Для двухмерных полей система дифференциальных уравнений векторных линий принимает вид

В данном случае ; . Поэтому

Разделяя переменные и интегрируя, получим

.

Таким образом, векторные линии представляют собой совокупность окружностей (см. рис. 1.2).