Влияние автокорреляции на структуру временного ряда

0 t* t

Рис.2. Изменение характера тенденции динамического ряда

Выбор одного из способов зависит от соотношения между снижением дисперсии и потерей числа степеней свободы, происходящей при переходе от первого ко второму способу. Для обоснования выбора метода оценки влияния структурных изменений используется статистический тест Г. Чоу. Его применение возможно только после оценки параметров уравнения тренда.

Выдвигается статистическая гипотеза о стабильности тенденции изучаемого ряда с точки зрения неизменности структуры. Остаточная сумма квадратов по кусочно-линейной модели определится как

. (4.16)

Число степеней свободы составит:

. (4.17)

Снижение остаточной дисперсии при переходе от первого ко второму случаю можно определить следующим образом:

(4.18)

Число степеней свободы, соответствующее этому снижению с учетом соотношения (4.17), составит:

(4.19)

Для проверки теста рассчитывается значение F-критерия Фишера по следующей формуле:

. (4.20)

Если фактическое значение критерия больше критического, полученного по таблицам распределения Фишера при принятом уровне значимости и числе степеней свободы и , то гипотеза о структурной стабильности тенденции отклоняется, и моделирование необходимо осуществлять с помощью кусочно-линейной модели. В противном случае – тенденцию следует моделировать с помощью единого для всей совокупности уравнения тренда.

Автокорреляция (п. 1.6) выявляется либо графическим, либо аналитическим способом по остаткам, т.е. случайным составляющим динамического ряда , рассчитанным для каждого момента или интервала времени по соответствующим формулам:

· для аддитивного ряда: ;

· для мультипликативного ряда: .

Последовательность остатков рассматривается как самостоятельный динамический ряд. Случайный характер остатков, т.е. отсутствие автокорреляции, можно выявить по графику их изменения во времени, который в данном случае должен подтвердить отсутствие какой-либо зависимости остатков модели от [2, 4].

Причины автокорреляции могут быть связаны, во-первых, с ошибками исходных данных (например, в связи с неточностью измерений), во-вторых, с неправильной спецификацией модели тренда, которая может не включать факторы, оказывающие наиболее существенное влияние на изменение результата, в том числе,лаговые переменные(раздел 7.1.).

Для более достоверного выявления автокорреляции оценивается критерий Дарбина –Уотсона, величина которого определяется по формуле

. (4.21)

Величина критерия изменяется в пределах от 0 до 4 в силу его взаимосвязи с коэффициентом автокорреляции [4] . Если , то можно сделать вывод об отсутствии автокорреляции.

Проверка значимости данного критерия осуществляется в следующей последовательности.

1. Выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков и два альтернативных предположения: возможна положительная автокорреляция и возможна отрицательная автокорреляция.

2. Интервал изменения критерия разбивается на 5 интервалов:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Величины и (нижнее и верхнее значения рассматриваемого критерия соответственно) выбираются по специальным таблицам в зависимости от принятого уровня значимости, числа наблюдений и количества факторов модели [2,3].

3. Если расчетное значение критерия попадает в третью зону, то нет оснований отвергать гипотезу, т.е. автокорреляция отсутствует; если – в первую, то гипотеза не принимается и предполагается наличие положительной автокорреляции; если – в пятую, то гипотеза отклоняется и предполагается наличие отрицательной автокорреляции; если – во вторую или в четвертую (зоны неопределенности), то на практике гипотеза отклоняется.

Кроме наличия или отсутствия автокорреляции случайные остатки проверяются на нормальность распределения и на стационарность (независимость характеристик от времени) [2].

Для количественной оценки автокорреляции используется автокорреляционная функция, значения которой отражают силу и направление линейной связи между исходным рядом и рядом, сдвинутым относительно него на 1, 2 и т.д. количество уровней. Поэтому различают автокорреляционную функцию различных порядков [4]. В частности, коэффициент автокорреляции остатков первого порядкаопределяется как

, (4.22)

где – средние уровни исходного ряда и сдвинутого ряда

Графически зависимость значений автокорреляционной функции от сдвига (или лага ) между уровнями иллюстрируется автокоррелограммой. По мере увеличения значение автокорреляционной функции снижается, а автокоррелограмма «затухает». Анализ автокорреляционной функции и автокоррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, т.е. связь между соседними уровнями ряда наиболее сильная. Такое значение лага позволяет также определить порядок моделей, формализующих запаздывание в воздействии факторов на результат (п. 7.1).

Свойства и проверка значимости автокорреляционной функции аналогичны свойствам и доказательству существенности линейного коэффициента корреляции (п. 1.2).

По результатам исследования автокорреляционной функции и ее графика можно сделать выводы о структуре ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, то ряд содержит только тренд. Иначе – ряд содержит циклические колебания с периодом моментов времени. Если же ни один из коэффициентов автокорреляции не оказался значимым, то делают одно из двух предположений относительно структуры ряда:

· либо он не содержит циклических колебаний и тенденции;

· либо содержит сильную нелинейную зависимость (тренд), для выявления которой необходим дополнительный анализ.

Если случайная составляющая не содержит автокорреляции, является стационарной и подчиняется нормальному закону распределения, то говорят о высоком качестве трендовой модели, т.е. о высокой точности аппроксимации исходного динамического ряда.