Аналитическая модель
МОДЕЛИ ОПИСАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Рассмотрим возможные способы представления трехмерных объектов в системах компьютерной графики. Для описания формы поверхностей могут использоваться разнообразные методы. Рассмотрим некоторые из них.
Под аналитической моделью будем понимать описание поверхности в виде математических формул. В компьютерной графике можно использовать много разновидностей такого описания. Например, в виде функции двух аргументов или в неявной форме . Приведем примеры:
– параболоид вращения, – сферическая поверхность радиуса .
Часто используется параметрическая форма описания поверхности, для которой выражения, описывающие эту поверхность в трехмерной декартовой системе координат, имеют вид
, (11.1)
где и – параметры, которые изменяются в определенных пределах, а , и – функции, определяющие форму поверхности.
Например, параметрическое описание поверхности сферы радиуса будет иметь вид
, , , (11.2)
где в качестве параметров традиционно используются переменные и .
Преимущества параметрического описания – легко описывать поверхности, которые отвечают неоднозначным функциям, замкнутые поверхности.
Для описания сложных поверхностей часто используют их приближения, составленные из элементарных фрагментов. В случае, когда эти элементарные фрагменты строятся по единой сравнительно простой схеме, такие составные поверхности принято называть сплайновыми поверхностями. Упомянутые элементарные фрагменты поверхности называются сплайнами. Таким образом, сплайн – это специальная функция, более всего пригодная для аппроксимации отдельных фрагментов поверхности. Несколько сплайнов образовывают модель сложной поверхности. Другими словами, сплайн – эта тоже поверхность, но такая, для которой можно достаточно просто вычислять координаты ее точек. Обычно используют кубические сплайны, так как третья степень – наименьшая из степеней, позволяющих описывать любую форму, и при стыковке сплайнов можно обеспечить непрерывную первую производную – такая поверхность будет без изломов в местах стыка.
Рассмотрим одну из разновидностей сплайнов – сплайн Безье. Приведем его сначала в обобщенной форме – степени []
, (11.3)
где – опорные точки-ориентиры, , , и – коэффициенты бинома Ньютона, которые вычисляются по формуле
(11.4)
Кубический сплайн Безье соответствует значениям , . Для его определения нужны 16 точек – ориентиров(рис. 11.1) . Коэффициенты и равны соответственно 1, 3, 3, 1 при .
Характеризуя аналитическую модель в целом, можно сказать, что эта модель наиболее пригодна для многих операций анализа поверхностей. С позиций компьютерной графики можно указать такие положительные черты модели: легкая процедура расчета координат каждой точки поверхности, нормали; небольшой объем информации для описания достаточно сложных форм.
Рис. 11.1
К недостаткам относятся следующие: сложные формулы описания с использованием функций, которые медленно вычисляются на компьютере, снижают скорость выполнения операций отображения; невозможность в большинстве случаев применения данной формы описания непосредственно для построения изображения поверхности. В таких случаях поверхность отображают как многогранник, используя формулы аналитического описания для расчета ко-ординат вершин граней в процессе отображения, что уменьшает скорость сравнительно с полигональной моделью описания.