Аффинные преобразования системы координат

АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Пусть на плоскости задана система координат (СК) и точка принадлежащая некоторому объекту. Система координат трансформируется в СК путем ряда последовательных смещений и поворотов относительно своего исходного состояния. При этом точка (объект) остается неподвижной. Необходимо определить координаты точки (объекта) в системе координат (рис. 8.1а, рис 8.1б).

 

Рис. 8.1а	Рис. 8.1б

В общем случае преобразование координат мочки при переходе от системы координат к системе координат определяется системой линейных уравнений:

, (8.1)

 

где

 

Выражение (8.1) представляет собой аффинное преобразование координат при переходе от системы координат к системе координат .

Обратный переход от СК к СК определяется как

 

, (8.2)

 

Афинное преобразование (8.1) удобно представить в матричном виде:

 

(8.3)

 

В компьютерной графике принято использовать однородные координаты, которые вводятся следующим образом. Точке ставится в соответствие точка , а точке точка .

Тогда переход от системы координат к системе координатв матричном виде можно записать как

 

(8.4)

или

, (8.5)

где

, ,

 

(8.6)

Обратное преобразование

 

, (8.7)

где

(8.8)

 

Рассмотрим теперь различные виды афинных преобразований на плоскости и соответствующие им матрицы и .

 

 

Параллельный сдвиг системы координат(рис. 8.2)

, (8.9)

 

(8.10)

 

Или

, (8.11)

 

Рис. 8.2	Рис. 8.3

 

где

(8.12)

 

Здесь и далее индекс «» означает, преобразованию подвергается система кординат.