Причины возникновения периодических несинусоидальных ЭДС, токов и напряжений. Представление функций рядом Фурье
НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО
Несовершенство источников энергии постоянной и несинусоидальной ЭДС, подключение линейных электрических цепей к источникам электрической энергии, в которых создаются ЭДС специальной формы (например, к генераторам с пилообразной или прямоугольной формой напряжения); наличие в электрических цепях разного рода нелинейных элементов (например, выпрямителей). Для анализа цепей, питаемых несинусоидальным напряжением, используют те же методы, что и для цепей синусоидального напряжения, при условии, что периодически изменяющаяся несинусоидальная функция напряжения представлена в виде ряда синусоидальных функций – ряда Фурье.
Так периодически изменяющаяся несинусоидальная функция F(t) записывается рядом Фурье следующим образом:
F(t) = A0 + A1mахsin(ωt + ψ1) + A2 mах sin(2ωt + ψ2) + Ak mах sin(kωt +
+ ψk) + An mахsin(nωt + ψn) = A0 +∑Ak mахsin(ωt + ψk),
где A0 - и высших постоянная составляющая ряда Фурье; A1mах, A2mах, Ak mах, Anmах – амплитуды первой гармоник; ω, 2ω, kω, nω – возрастающие частоты гармоник; ψ1, ψ2, ψk, ψn - начальные фазы гармоник.
Первая гармоника имеет период, равный периоду несинусоидальной величины, называется основной гармоникой.
Для определения амплитуд гармоник (например, ЭДС) целесообразно каждую из них представить в виде суммы двух гармоник, начальные фазы которых равны нулю:
Еkmахsin(kωt + ψk) = Еkmахcos ψk sinkωt + Еkmахsinψk coskωt =
= Вk sinkωt + Сkmахcoskωt,
где Вk = Еkmахcosψk, Сk = Еkmахsinψk.
На рисунке изображены основная и третья гармоники ЭДС при условии, когда начальные фазы равны нулю
Графическое изображение первой и третьей гармоник ЭДС
при начальных фазах, равных нулю, и их суммы
Амплитуды гармонических составляющих (коэффициенты Вk и Сk) зависят от начальных фаз и поэтому изменяются при изменении начала отсчета времени.
е = Е0 + В1sinωt + В2sin2ωt + С1cosωt + С2cos2ωt + … = Е0 + ∑Вksinkωt +
+ ∑Сkcoskωt
Здесь: Е0 = 1/Т∫ое(t)dt;
Вk = 2/Т∫е(t)sinkωtdt;
Сk = 2/Т∫е(t)coskωtdt,
где е(t)– аналитическое выражение для несинусоидальной ЭДС.
Зная амплитуду двух слагаемых k ‑ й гармоники, находят полную амплитуду этой гармоники и ее начальную фазу:
Еk mах = ; ψk = arctg(Сk /Вk).
Из формулы видно, что постоянная составляющая ЭДС Е0 является средним значением периодической несинусоидальной ЭДС.
Аналогично представляют рядом Фурье и определяют амплитуды и начальные фазы гармоник несинусоидальных напряжений и токов.