Лекция 6. Постоянный электрический ток.

§ 6-1 Основные определения.

Известно, что электрический ток – это направленное движение электрических заря-дов. Если количество зарядов, проходящее через заданную площадь в единицу времени не меняется с течением времени, то такой ток называют постоянным. Ясно, что движение мо-жет быть направленным только под влиянием внешних электрических сил. Для того, чтобы ток оставался постоянным с течением времени, электрическая цепь, т.е. ряд проводников, соединенных параллельно и последовательно друг другу, должна быть замкнутой.

Отсюда следует, что силы не могут быть электростатическими, т.к. работа этих сил по замкнутому контуру всегда равна нулю. Обычно эти силы называют сторонними, подчеркивая их неэлектростатическое происхождение. Сила, отнесенная к величине пере-мещаемого заряда, по аналогии с электростатикой, называется напряженностью, а работа по перемещению единичного положительного заряда на каком-либо участке получила назва-ние электродвижущей силы. Однако обычно принято говорить обэлектродвижущей силе источника токаE, понимая под этим работу, соверщаемую источником во всей цепи. Поскольку ЭДС – это работа, то между нею и напряженностью сторонних сил остается справедливым соотношение, полученное в электростатике4:

E =.

При разомкнутой цепи сторонние силы источника так перераспределяют заряды, что создаваемое ими поле компенсирует действие сторонних сил внутри источника. При замк-нутой цепи заряды рапределяются и вдоль проводников внешней цепи, создавая поле вну-три их.

Если на каком- либо участке цепи действуют сторонние и электростатические силы, то работа по перемещению единичного положительногозаряда будет складываться из работ каждой из этих сил по отдельности. Величину общей работы принято называть напряже-нием.Если понятие “участок” распространить на всю цепь, то очевидно, что тогда общая работа равна E.

§ 6-2 Закон Ома.

Для выяснения закономерностей постоянного тока обратимся к упрощенной микро-скопической картине. Рассмотрим отдельный заряд величиной q ₀, являющийся одним из носителей тока в проводнике ( для металлов q₀ = -е, где е – заряд электрона). В силу теплового движения каждый заряд движется хаотически, а под действием сторонних сил он приобретает еще и направленное движение. При хаотическом движении заряд постоянно сталкивается с ионами, масса и размеры которых значительно больше аналогичных пара-метров носителя. Ионы также участвуют в тепловом движении, но это, в основном, коле-бательные движения, амплитуда которых увеличивается с температурой. Носители, стал-киваясь с ионами, на какое – то мгновение как бы прлипают к последним (разноименные заряды стремятся притянуться друг к другу). На языке механики это означает, что носители испытывают неупругие столкновение с ионами так, что новый путь они начинают с нулевой скоростью направленного движения. Пусть время между двумя последовательными соударениями равно t. Тогда под действием напряженности носитель за это время приобретет скорость u =at. Ускорение а =F/m = q₀ E/m; m – масса носителя. Вводя понятие плотности тока j , которое определяется как количество зарядов, проходящих через единичную площадку, перпендикулярную вектору скорости, можно записать:

где .

Величина l, определенная таким способом, называется электропроводностью материала, а обратная ей r=1/l -удельным электросопротивлением. Нетрудно заметить, что плотность тока – вектор, направление которого совпадает с направлением вектора скорости. Соотношение j =lE носит название закона Ома в дифференциальной (векторной) форме.

Если однородный проводник имеет длину l и площадь поперечного сечения S, то закон Ома для такого проводника может быть записан в несколько ином виде. Для этого умножим обе части соотношения jr =E на произведение lS и учтем, что для однородного проводника поле внутри его везде одинаково, т.е. однородно, и El =U – разность потенциалов на концах про-водника. Тогда получим:

jSrl =El S.

Введем понятие силы тока I = (jS) и обозначим rl/ S =R, теперь наше соотношение приобретает обычный вид: U =IR, где U – напряжение на концах проводника, а I –сила тока.

Сила тока – скалярное произведение плотности тока и площади, которой в этом случае при-писываются векторные свойства ( направление вектора определяется как и прежде направ-лением внешней нормали к площади). Величина R называется сопротивлением проводника.

Для соединения нескольких проводников величина общего сопротивления R₀ находится по известным правилам: для последовательного соединения R₀ =S R_i , а для параллельного

Если на рассматриваемом участке имеется источник тока с ЭДС E , как уже отмечалось, об-щее напряжение складывается из разности потенциалов и ЭДС, т.е.

U =IR +E .

Этот вариант записи соотношения между током и напряжением носит название закона Ома для участка цепи, содержащей ЭДС. Здесь важно учитывать правило знаков: считается, что положительный ток проходит от положительного полюса элемента к отрицательному; при заданном направлении тока через рассматриваемый участок, ЭДС считается положи-тельной, если она создает ток в этом же направлении и отрицательной – если в противопо-ложном. Для замкнутой цепи очевидно, что концы проводника замыкаются сами на себя и U=0. Тогда закон Ома примет вид

E = (R + r)I,

где r – внутреннее сопротивление источника тока.

§ 6-3 Закон Джоуля – Ленца.

При выводе дифференциального закона Ома предполагалось, что носители тока в момент столкновения с ионами как бы прилипают на мгновение к последним, т.е. носители полностью теряют свою энергию, которую онм приобрели под действием ускоряющего поля. Эта энергия передается ионам и переходит в энергию их хаотических колебаний, т.е. в теплоту.

За время свободного пробега отдельный носитель приобретает энергию, равную ра-боте, которая совершается за счет электрического поля: w = q₀E_l Dl. Т.к. общее количество зарядов, проходящее в единицу времени через поверхность единичной площади, опреде-ляется плотностью тока j , то для Dl = 1 количество энергии, переходящей в теплоту, равно DW =jE или

DW = lЕ².

Последнее выражение носит наименование дифференциального закона Джоуля-Ленца.

Для проводника, имеющего длину l и площадь S, оно преоразуется к известному виду, достаточно лишь обе части этого выражения умножить на объем V =Sl .

DWV =W₀ =,

где в преобразованиях использован закон Ома для участка цепи. Полученная формула описывает закон Джоуля-Ленца в интегральном виде.

Выделяющаяся теплота имеет смысл полезной лишь в нагревательных приборах; во всех других случаях это – потери энергии, снижение этих потерь составляет одну из важнейших задач электротехники. Эта теплота образуется зя счет энергии сторонних сил.

Для закнутой цепи полная работа по перемещению единичного положительного заряда по определению равна E, значит полная мощность, которую может развить источник, равна E I. Величина совершенной работы за время t определится как A =E It.

§ 6-4 Основы зонной теории.

До сих пор развитие наших представлений об электричестве происходило достаточно последовательно с использованием довольно простых моделей. Лишь в какой-то момент было стыдливо использовано понятие носителей с зарядом q₀ , хотя тут же оговаривалось, что в действительности надо рассматривать электроны, которые ответственны за проводимость металлов. Однако электроны являются довольно своеобразным микроско-пическими объектами, которые плохо подчиняются законам классической механики. Более того, их свойства часто описываются лишь в представлениях квантовой теории и теории ве-роятности.

Наиболее известным следствием квантовомеханической теории является описание свойств электронов с помощью квантовых чисел: n, l, m и s, где

n – главное квантовое число, характеризующее энергию электрона,

l, - орбитальное квантовое число, определяющее форму орбиты,

m – магнитное квантовое число, связанное с оринтацией орбиты,

s – спиновое число, определяющее собственный момент импульса электрона.

Первые три квантовых числа могут принимать только целочисленные значения –1, 2…и т.д, а s – только два значения - ± ½, и одному набору чисел n, l и m соответствуют два электрона с противоположно направленными спинами.

Достаточно известным является и так называемый принцип Паули: в атомах не бывает двух электронов с одинаковыми квантовыми числами.

Из этих двух положений следует, что энергия электронов может принимать только определенные дискретные значения так, что по мере увеличения числа электронов в атоме внешние электроны даже при температуре 0 К обладают конечной энергией.

Рис.15. Схема расположения зон.

В твердых телах внешние электроны вступают во вза-имодействие с соседними атомами, в результате чего их энергия немногоизменяется, т.к. энергия этого взаимо-действия значительно меньше энергии электронов в атоме. Однако дискретность уровней сохраняется. Взаи-модействие электронов с соседними атомами означает, что эти ” внешние” электроны теперь принадлежат как бы всем атомам. Поэтому дискретный энергетический уро-вень, который соответствовал этим электронам в изоли-рованном атоме теперь ”расплывается“ в целый набор близко расположенных “подуровней”. Их количество определяется числом атомов, т.е. в одной грамм – молекуле вещества образуется 6,023×10²³ подуровней. Об-разовавшийся набор принято называть зоной.

Самые внешние электроны образуют зону проводимости, а следующему ниже-лежащему уровню соответствует валентная зона (см. рис.15). Между зоной проводимости и валентной зоной может располагаться запрещенная зона, т.е. набор значений энергии, приобретение которых электронами в данном веществе оказывается невозможным. Теория, оперирующая понятиями зоны, получила название зонной. С точки зрения зонной теории вещества разделяются на три класса: проводники, изоляторы и полупроводники. Принадлежность конкретного вещества к тому или иному классу определяется как расположением перечисленных зон, так и степенью их заполнения. Здесь сразу надо отметить, что валентная зона для простоты считается полностью заполненной. Если каждый атом вещества отдает в зону проводимости один электрон, то зона оказывается заполненной наполовину – на каждом уровне размещаются два электрона с противоположными спинами. Под действием внешнего электрическогополя электроны приобретают дополнительную энергию и переходят на свободные вышележащие подуровни. Может случиться и так, что зона проводимости – пуста, но запрещенная зона отсутствует, и под действием поля электроны из валентной зоны переходят в зону проводимости. В обоих случаях вещества будут проводить электрический ток. Если же в веществе зона проводимости пуста, а валентная зона отделена от нее достаточно широкой запрещенной зоной значений энергии, то такое вещество является изолятором. Нужны крайне высокие (несколько десятков или даже сотен киловольт) значения внешнего напряжения, чтобы электроны материала оказались бы переброшены через запрещенную зону. Наконец существуют элементы (гер-маний и кремний), у которых запрещенная зона довольно узкая, и энергии теплового движения оказывается достатлчно, чтобы электроны из валентной зоны перебрасывались бы в пустую зону проводимости. При комнатных температурах таких электронов находится сравнительно мало, количество носителей в зоне проводимости незначительно по срав-нению с металлами, и такие вещества получили название полупроводников.

Указанный тип проводимости в полупроводниках называется собственной проводи-мостью. Он наблюдается только в очень чистых материалах. Обычно же любой полупро-водник содержит небольшое (примерно один атом на миллион) количество примесных атомов. Поскольку атомов примеси мало, то они не взаимодействуют между собой, и их энергетические уровни остаются нерасщепленнвми. Примесные энергетические уровни мо-гут быть как пустыми, так и заполненными. Если такой заполенный примесный уровень располагается в запрещенной зоне чуть ниже зоны проводимости, то под действием тепло-вых возбуждений электроны с этого уровня могут переходить в зону проводимости. Если же пустой уровень находится чуть выше валентной зоны, то электроны из этой зоны могут быть переброшены на вакантный примесный уровень так, что в валентной зоне образуется «дырка», способная перемещаться от одного атома к другому, создавая «дырочную» прово-димость. Возникающая в обоих случаях проводимость называется примесной. При этом электронная примесная проводимость получила название донорной или n – проводимости, а «дырочная» проводимость была названа акцепторной или р – проводимостью. В насто-ящее время во всех полупроводниках предпочитают использовать примесную проводи-мость.

Комбинация полупроводников с различным типом проводимости позволили создать целый ряд кристаллических диодов и триодов, нашедших широкое применение в радио-электронной промышленности. Современные технологии позволяют пролучать на кристал-ле кремния размером в булавочную головку несколько десятков миллионов полупроводни-ковых элементов. Основным элементом любого электронного устройства стала микро-схема. Премиущества их использования очевидны: они экономичны в отношении потреб-ления энергии, малогабаритны, не боятся перегрузок и т.п. Из недостатков надо выделить два: если в микросхеме выходит из строя всего один элемент, то починить ее невозможно. Ремонт сводится к замене неисправной микросхемы, что стоит довольно дорого. Наконец, все микросхемы оказываются крайне чувствительны к воздействию проникающего излуче-ния. В условиях повышенной радиационной опасности их приходится заменять радиосхе-мами на сверхминиатюрных лампах.

§ 6-5 Зависимость проводимости материалов от температуры.

Из рассмотрения проводимости металлов следует, что их сопротивление обусловле-но взаимодействием носителей с колеблющимися ионами. Поскольку с повышением температуры амплитуда тепловых колебаний увеличивается, и носители начинают чаще сталкиваться с ними, можно сделать заключение о том, что с повышением температуры сопротивление проводников должно увеличиваться. Для полупроводников же картина обратная – чем выше температура, тем больше носителей, т.е. сопротивление полупро-водников падает с повышением температуры.

С понижеитем температуры сопротивление проводников должно уменьшаться, достигая минимума при абсолютном нуле. Однако в действительности при низких, но конечных температурах сопротивление некоторых металлов скачком падает до нуля. Это явление было открыто в 1911 г и получило название сверхпроводимости. Долгое время для его наблюдения требовались температуры, близкие к температуре жидкого гелия, и лишь срав-нительно недавно удалось повысить температуру сверхпроводящего перехода до значения 90-100 К. Сверхпроводимость стало возможным наблюдать при температуре жидкого азота. Природа возникновения сверхпроводимости может быть объяснена только в рамках кванто-вой теории.

§ 6-6 Правила Кирхгофа.

Для расчета сложных электрических цепей немецким ученым Кирхгофом были сформулированы эмпирические правила. Первое из них утверждает, чтодля любого узла электрической цепи сумма токов, входящих и выходящих из него, равна нулю.При этом то-

Рис.16. К правилам Кирхгофа.

кам приписывается определеннный знак: входящие и выходящие токи имеют различные знаки. Пример показан на рис.16.Второе правило касается замкнутого контура, выделенного в сложной цепи: сумма произведений токов на сопротивления, по которым они проходят, равняется сумме ЭДС, включенных в данный контур. При этом токам и ЭДС приписывается определенный знак: при за-данном направлении обхода контура положи-тель-ными берутся только те токи (и ЭДС), которые совпадают с выбранным направлением обхода кон- тура. Так из рис.16 следует: 1. I₁ – I₂ + I₃ –I₄ = 0, 2. I₁ R₁ + I₂ R₂ - I₄ R₄ + I₃ R₃ = E₃ – E₂ – E₁ .