Собственные значения и собственные векторы матрицы
Действия над линейными преобразованиями
Суммой линейных преобразований Y=АХ и Y=ВХ называется преобразование Y=(А+В)Х с матрицей А+В.
Произведением линейных преобразований Y=АХ и Y=ВХ называется последовательное выполнение преобразований Y=АХ и Y=ВХ.
Докажем, что произведение линейных преобразований есть линейное преобразование, и найдем его матрицу. Преобразование с матрицей А переводит столбец Х в столбец Y=АХ, а преобразование с матрицей В – столбец Y в столбец Z=BY=В(АХ). Следовательно, в силу сочетательного свойства операции умножения матриц
Z=(BA)X. (6.7)
Из формулы (6.7) следует, что произведение линейных преобразований с матрицами А и В есть линейное преобразование с матрицей ВА. Таким образом, матрица произведения двух линейных преобразований равна произведению матриц этих преобразований. При этом существен порядок множителей: матрица первого преобразования в произведении матриц должна стоять правее матрицы второго преобразования.
Линейное преобразование Y=АХ называется невырожденным, если D(A)¹0, и вырожденным, если D(A)=0.
Рассмотрим невырожденное преобразование. Линейное преобразование Y=A–1Х с обратной матрицей А–1 называется обратным по отношению к Y=AX. Произведение прямого и обратного преобразований есть тождественное преобразование. Его матрица равна А–1А=Е. Тождественное преобразование Y=ЕХ преобразует всякий вектор сам в себя.
Невырожденное преобразование замечательно в том отношении, что оно устанавливает взаимно-однозначное соответствие между векторами пространства и их образами. Действительно, каждому столбцу Х соответствует единственный образ Y=АХ, и наоборот, всякому образу Y соответствует единственный столбец Х, так как из уравнения Y=AX следует, что Х=А–1Y. Вырожденное преобразование этим свойством не обладает, так как для него не существует обратного преобразования.
Определение. Всякий ненулевой вектор х называется собственным вектором линейного преобразования А, если найдется такое число l, что будет выполняться равенство
. (6.8)
Это число l называется собственным значением преобразования А, соответствующим собственному вектору х.
Если в пространстве выбран определенный базис, то уравнение (6.8) для собственных векторов и собственных значений линейного преобразования можно записать в матричной форме:
. (6.9)
Всякий ненулевой столбец Х, для которого выполняется
равенство (6.9), называется собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению l.
Таким образом, собственный вектор матрицы А – это столбец
,
составленный из координат собственного вектора 
линейного преобразования 
в выбранном базисе.
Уравнение (6.9) записано в матричной форме. Его можно переписать в более удобном виде: 
, или
, (6.10)
где E и 0 – соответственно единичная матрица и нулевая матрица. Матрица 
называется характеристической матрицей.
Если 
– элементы матрицы А, то характеристическая матрица , согласно определениям умножения матрицы на число и суммы матриц, имеет вид
.
Уравнение (6.10) эквивалентно системе однородных уравнений
(6.11)
В уравнениях (6.11) – элементы матрицы А, xj – координаты собственного вектора х. Поскольку собственный вектор не является нулевым, то однородная система (6.11) должна иметь ненулевое решение, т.е. в силу следствия 2 теоремы 5.5 определитель этой системы должен быть равен нулю:
. (6.12)
Определитель системы однородных уравнений (6.11) (или (6.10)) называется характеристическим многочленом, а уравнение (6.12) – характеристическим уравнением матрицы А.
Уравнение (6.12) имеет степень n относительно неизвестной l. Его корни являются собственными значениями матрицы А. Определив набор этих значений, для каждого из них можно найти соответствующий собственный вектор как решение однородной системы (6.11).
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
А=
.
○ Характеристическое уравнение для этой матрицы имеет вид
,
откуда, раскрывая определитель, получаем
.
Корни этого уравнения 
. Для нахождения собственных векторов подставим найденные собственные значения в систему однородных уравнений (6.11) при n=2, соответствующую заданной матрице А. Собственный вектор, соответствующий собственному значению 
, является решением системы
Эта система совместная и неопределенная, так как определитель системы равен нулю. Придавая свободной переменной х2 произвольное ненулевое значение х2 = b¹0, получим х1= –2b и первый собственный вектор х1 = (–2b; b) = b(–2; 1). Подстановка второго собственного значения
приводит к системе уравнений
которая через ненулевую свободную переменную х2 = с¹0 определяет второй собственный вектор матрицы А: х2 = (с; с) = с(1; 1).
Поскольку b и с – произвольные числа, одному собственному значению может соответствовать несколько собственных векторов разной длины. Например, собственные векторы, соответствующие фундаментальным решениям однородных систем (в данном случае их будет по одному на каждое собственное значение), имеют вид:
х1 =(–2, 1), х2 = (1; 1). ●