Матрица линейного преобразования

Рассмотрим линейное преобразование . Найдем связь между координатами вектора х и координатами его образа у. Так как координаты вектора зависят от выбора базиса, то для нахождения этой связи необходимо задать базис.

Выберем в n-мерном пространстве некоторый базис ,
и пусть . В силу линейности преобразования образ увектора х равен

(6.1)

Здесь – образы базисных векторов .

Разложим векторы по базисным векторам. Обозначив координаты вектора в выбранном базисе через , получим

(6.2)

Подставив равенство (6.2) в формулу (6.1) и изменив порядок суммирования, найдем

(6.3)

В силу единственности разложения вектора

(6.4)

по базисным векторам из равенств (6.3) и (6.4) получим

,

или в развернутом виде,

 

(6.5)

Формулы (6.5) устанавливают связь между координатами преобразованного вектора у и координатами вектора х при линейном преобразовании , т.е. представляют линейное преобразование в координатной форме.

Сопоставим векторам х и у матрицы-столбцы Х и Y, составленные из координат этих векторов в выбранном базисе:

, .

Тогда равенства (6.5) можно записать в матричном виде:

(6.6)

Здесь – квадратная матрица, i-й столбец которой составлен из координат вектора в выбранном базисе.

Таким образом доказано, что при фиксированном базисе любое линейное преобразование можно представить и притом единственным способом в матричной форме. Матрица А называется матрицей линейного преобразования (в выбранном базисе).

Ясно, что справедливо и обратное утверждение: всякое преобразование вида (6.6.), где А – произвольная квадратная матрица, а Х и Y – матрицы-столбцы, является линейным преобразованием. Действительно, в силу свойств операции умножения матриц для любых столбцов Х₁ и Х₂ и любого скаляра a имеют место равенства
А(Х₁+Х₂)= АХ₁+АХ₂, А(aХ₁)= aАХ₁.

Так как при выбранном базисе между линейным преобразованием и матрицей линейного преобразования имеется взаимно-однозначное соответствие, то в тех случаях, когда базис фиксирован, целесообразно отождествлять преобразование А с его матрицей А и записывать линейное преобразование в матричной форме Y=АХ или в координатной форме (6.5).

При изменении базиса изменяется и матрица линейного преобразования.

Примеры. 1. Найти матрицу линейного преобразования , где в том базисе, в котором даны координаты векторов х и у.

○ Запишем соотношения, связывающие координаты векторов х и у и соответственно матрицу линейного преобразования А:

следовательно, ●

2. Найти (в том же базисе) координаты вектора , если линейное преобразование А задано матрицей

и .

○ Линейное преобразование запишем в матричной форме (6.6):

, где , .

Решая матричное уравнение, получим: ,
т.е. . ●