Преобразование координат при переходе к новому базису
Пусть в n-мерном линейном пространстве Rnимеются два базиса: 
(старый) и 
(новый). Каждый вектор пространства Rnможет быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. Предположим, что векторы выражаются через базисные векторы с помощью формул
(4.1)
Матрицу
А = 
называют матрицей перехода от старого базиса к новому.
Определитель матрицы А отличен от нуля, так как иначе в силу теоремы 3.7 строки этой матрицы (а значит, и базисные векторы ) оказались бы линейно зависимыми.
Докажем, что обратный переход от нового базиса к старому базису осуществляется с помощью матрицы В, обратной к матрице А.
По теореме 3.8 матрица В, обратная к матрице А, имеет вид
В = 
, (4.2)
где через 
обозначен определитель матрицы А, а через 
– алгебраическое дополнение элемента 
матрицы А.
Умножим уравнения (4.1) соответственно на алгебраические дополнения 
, 
,…,
элементов j-го столбца определителя и после этого сложим эти уравнения. В результате получим (для любого номера j, равного 1,2,…, n)
(4.3)
Сумма произведений элементов i-го столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов j-го столбца определителя равна нулю при 
(теорема 3.5), если же 
, то эта сумма представляет собой разложение определителя по элементам j-го столбца (теорема 3.4). Тогда
.
Равенства (4.3) запишутся в виде
,
откуда 
, 
, или
(4.4)
Формулы (4.4) показывают, что обратный переход от базиса к базису осуществляется с помощью
матрицы В = А–1.
Найдем зависимость между координатами вектора в разных базисах. Пусть х – произвольный вектор рассматриваемого пространства Rn; (
) – его координаты в старом базисе , (
)– его координаты в новом базисе , так что
. (4.5)
Подставив в правую часть равенства (4.5) вместо векторов их выражения, определяемые формулами (4.1), получим
Из последнего равенства в силу единственности разложения по базису получаем формулы перехода от координат в новом базисе к координатам в старом базисе:
(4.6)
Равенства (4.6) можно представить в матричной форме
или 
, (4.7)
где АТ и (А–1)Т– матрицы, транспонированные по отношению к матрице А и обратной матрице АТ, соответственно.
Пример. В базисе заданы векторы 
, 
, 
и 
. Показать, что векторы 
образуют базис и выразить вектор b в базисе .
○ Три трехмерных вектора образуют базис, если они линейно независимы. Чтобы доказать линейную независимость векторов , вычислим определитель, составленный из координат этих векторов:
.
Определитель не равен нулю, значит, векторы линейно независимы и образуют базис. Выразим связь между базисами:
Матрица перехода от базиса к базису имеет вид
А= 
.
Вычисляем обратную матрицу А–1 по формуле (4.2) и находим транспонированную матрицу (А–1)Т:
А–1=
; (А–1)Т= 
.
Теперь по формуле (4.7) находим координаты вектора b:
.
Таким образом, координаты вектора b в базисе есть (0,5;2;–0,5) и вектор b может быть представлен в виде:
. ●