Миноры и алгебраические дополнения

В матрице определителя n-го порядка вычеркнем -ю строку и -ый столбец:

Оставшийся определитель (n–1)-го порядка называется минором
(n–1)-го порядка элемента определителя n-го порядка и обозначается .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя n-го порядка называется произведение минора элемента на , т.е. .

Пример. Найти минор и алгебраическое дополнение элемента определителя .

○ Вычеркнем 2-ю строку и 1-й столбец определителя. Получим минор , алгебраическое дополнение . ●

Для вычисления определителей большое значение имеет следующая теорема.

Теорема 3.4. Определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

. (3.7)

Формула (3.7) называется разложением определителя по элементам k-ой строки. Разложение определителя по элементам какого-либо столбца записывается аналогично.

Формула (3.7) сводит вычисление определителя n-го порядка к вычислению n определителей (n–1)-го порядка. Зная формулу (3.6) вычисления определителя третьего порядка, мы, например, можем найти определитель четвертого порядка путем разложения его на сумму алгебраических дополнений по формуле (3.7).

Пример. Вычислить определитель четвертого порядка

.

○ Разложить определитель можно по любой строке или любому столбцу, согласно формуле (3.7). Однако если выбрать такую строку (или столбец), в которой больше элементов, равных нулю, то объем вычислений можно существенно уменьшить. В нашем случае наиболее подходящим является четвертый столбец. Разложение определителя по этому столбцу имеет вид

Теорема 3.5. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответственных элементов другой строки (столбца) равна нулю.

□ Покажем, например, что

Для каких угодно чисел имеет место равенство

.

Здесь записана формула разложения определителя по первой строке. Полагая , находим

.

Стоящий слева определитель содержит две одинаковые строки – первую и вторую, поэтому равен нулю. Значит и равенство (3.7) доказано. ■