ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНО­СТЕЙ

Рассмотрим опыт, состоящий в бросании случайным об­разом точки на отрезок [a; b], предполагая, что попадания в лю­бую точку равновозможны. Пространство элементарных собы­тий W в этом опыте – все точки отрезка [a; b]. Поскольку мно­жество элементарных собы­тий несчетно (бес­конечно) и все они равновозможны, то для "wÎW P(w)=0. Так, что классическая схема неприменима. В этом случае положим, что вероятность события A – «Попада­ние брошенной точки на отрезок [c; d] Ì [a; b]» – пропорциональна длине отрезка [c; d], т.е. P(A) = k·(d-c), где d - c – длина отрезка. Коэффициент k находится из условия нор­мировки: P(W) = k·(a-b) =1 Þ k = 1/(a-b) и P(A) = (d-c)/(a-b).

Пример 2.8. Абонент ждет телефонного вызова в течение одного часа. Какова вероятность, что вызов произойдет в последние 20 минут этого часа?

Решение. Пусть событие A состоит в том, что вызов произошел в последние 20 минут. Изобразим пространство элементарных событий в виде отрезка длины 60. Тогда элементарные события, благо­прият­ные A, заключены в последнюю треть отрезка, следовательно, P(A) = 1/3. Ответ: 1/3.

Естественно, что вместо отрезка можно говорить о плоской фигуре, определив ве­роятность как отношение P(A) = S(A)/S(W), где S(A) и S(W) – площади соответст­вую­щих фигур.

Пример 2.9. Два лица X и Y условились встретиться в определен­ном месте между 12 часами и ча­сом, при этом пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна веро­ятность встречи лиц X и Y, если приход каждого из них в течение ука­занного часа может про­изойти случайно, и моменты прихода незави­симы?

Решение. Обозначим момент прихода лица X через x, а лица Y че­рез y. Для того, чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно выполнение неравенства |x – y| £20. На координатной плоско­сти мно­жество точек, удовлетворяющие этому неравенству, изобразятся в виде полосы (рис. 2.2а), все возможные исходы – точками квадрата со стороной 60 (минут), а благоприятствующие встрече – рас­положатся в заштрихованной области (рис. 2.2б). Следовательно, искомая вероят­ность равна от­ноше­нию площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата, т.е. равна (60² – 40²)/60² = 5/9.

Ответ: 5/9.

a)	б)
Рис.2.2