Теорема о том, что любые два базиса системы векторов состоят из одного и того же числа векторов. Ранг системы векторов. Конечномерные векторные пространства. Примеры.

Теорема 1. Любые два базиса системы векторов (1) , , …, состоят из одного и того же числа векторов.

Доказательство. Пусть системы (2) , ,…, и (3) , , …, — различные базисы системы векторов (1). Допустим, что r¹s. Возможны два случая: s > r или s < r. Пусть s > r. Т.к. (2) — базис системы векторов (1), то по определению любой вектор системы векторов (1) является линейной комбинацией базисных векторов системы (2), и, в частности, каждый вектор системы (3) является линейной комбинацией векторов системы (2), поскольку система векторов (3) является подсистемой системы векторов (1). Т.к. s > r, то получили, что большая система векторов (3) линейно выражается через меньшую систему векторов (2) и, значит, по свойствам линейно зависимой системы векторов, система (3) является линейно зависимой. Получили противоречие с тем, что система (3) является базисом и, следовательно, линейно независима. Это означает, что s не больше r.

Допустим, что s < r. Проводя аналогичные рассуждения, получим, что большая система векторов (2) является линейной комбинацией меньшей системы векторов (3). Значит, по основной лемме о линейной зависимости, система векторов (2) линейно зависима. Получили противоречие с определением базиса. Таким образом, s не меньше r. Получили, что s = r. Теорема доказана.

Определение 1. Число r векторов в базисе системы векторов (1) называется рангом системы векторов (1) и обозначается r = rang {, , …, } или r = r{, , …, }.

Определение 2. Векторное пространство V над полем P называется конечномерным векторным пространством, если существует конечная линейно независимая система векторов (1) , , …, из V такая, что каждый вектор из V является линейной комбинацией системы векторов (1). При этом система векторов (1) называется базисом конечномерного векторного пространства V.

Теорема 2. Любые два базиса конечномерного векторного пространства V состоят из одного и того же числа векторов.

Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 1.

Определение 3. Число n векторов в базисе конечномерного векторного пространства V называется размерностью векторного пространства V над полем P и обозначается n = dim_РV. В этом случае V называется n-мерным векторным пространством над полем P и обозначается V_n.

Примеры.1) ⁿ, ⁿ,ℂⁿ, Pⁿ — примеры классических арифметических n-мерных векторных пространств над полями соответственно , , ℂ и Р.

2) Т_n — множество всех многочленов степени не выше n с коэффициентами из поля Р. Т_n образует (n+1)-мерное векторное пространство над полем Р с базисом 1, х, х², … , хⁿ, т.е.

Т_n= {f(x)=a₀1 + a₁x +…+ a_n хⁿ ½ a_iÎP, i=}.

3) Множество прямоугольных матриц размера m´n с элементами из поля Р образует mn-мерное векторное пространство над полем Р.

4) Множество Т всех многочленов с коэффициентами из поля Р образует бесконечномерное векторное пространство над полем Р с базисом 1, х, х², … , хⁿ, …

В дальнейшем будем рассматривать только конечномерные векторные пространства.