Базис системы векторов. Координаты вектора в данном базисе. Разложение вектора по базису — существование и единственность.

Пусть дана система векторов (1) , , …, из векторного пространства V над полем Р.

Определение 1. Максимальная линейно независимая подсистема системы векторов (1) называется базисом этой системы.

Теорема. Если система (2) , , …, — базис системы векторов (1), то любой вектор системы векторов (1) является линейной комбинацией системы векторов (2), причем такое представление (разложение по базису) единственно.

Доказательство. Пусть — некоторый вектор из системы векторов (1). Если принадлежит базису (2), то =для некоторого iÎ{}. Тогда = 0+ … + 1+ … + 0— разложение вектора по базису (2). Если не принадлежит базису (2), то рассмотрим систему векторов

(3) , , …, , .

По определению базиса, система векторов (3) является линейно зависимой. Это означает, что существуют скаляры a1, a2,..., ar, ar+1 принадлежащие полю Р и не равные нулю одновременно такие, что выполняется равенство (4) a1+ a2+ … + ar+ ar+1= . Допустим, что ar+1=0. Тогда ar+1=и a1+ a2+ … + ar+ ar+1= , причём скаляры a1, a2,..., ar не равны нулю одновременно. Это означает, что система векторов (2) линейно зависима. Получили противоречие с определением базиса. Поэтому ar+1¹0. Выразим вектор из равенства (4). Получим

= - - - … - ,

то есть вектор является линейной комбинацией базисных векторов (2).

Покажем, что такое представление единственно. Допустим, что существуют два представления вектора в виде линейной комбинации базисных векторов (2):

(5) = a1+ a2+ … + arи (6) = b1+ b2+ … + br.

Вычтем из равенства (5) равенство (6). Получим (7) = (a1 - b1)+ (a2 - b2)+ … + (ar - br). Поскольку система векторов (2) линейно независима, то из равенства (7) следует, что все скаляры ai-bi равны нулю, i=. Это означает, что ai=bi для всех i=и представления (5) и (6) совпадают. Таким образом, существует единственное представление вектора в виде линейной комбинации базисных векторов. Теорема доказана.

Определение 2. Представление вектора в виде линейной комбинации базисных векторов , , …, называется разложением вектора по базису , , …, := a1+ a2+ … + ar.

Кортеж (a1, a2, … , ar) называется координатной вектор-строкой вектора в базисе (2). Коэффициенты a1, a2, …, ar разложения вектора по базису (2) называются координатами вектора в базисе (2).

Замечание.Из доказанной теоремы следует, что координаты единственным образом определяют вектор.