Свойства линейно зависимой системы векторов.

Рассмотрим некоторые свойства линейно зависимой системы векторов.

Свойство 1. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, является линейно зависимой.

Доказательство. Пусть , , …, - линейно зависимая подсистема системы векторов

, , …, (1). Тогда по определению существуют скаляры a₁, a₂,..., a_lÎР, не равные нулю одновременно, такие, что a₁+ a₂+ … + a_l=. Рассмотрим линейную комбинацию

a₁+ a₂+ … + a_l+ 0+…+0=(2). Так как не все скаляры a_i в равенстве (2) равны 0, то равенство (2) означает, что система векторов (1) линейно зависима. Свойство доказано.

Следствие 1. Система векторов, содержащая нуль-вектор, является линейно зависимой.

Доказательство. Покажем, что система векторов, состоящая из одного нуль-вектора является линейно зависимой. В самом деле, 1×= и 1 Î Р, 1 ¹ 0. Значит, по свойству 1, система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, состоящую из нуль-вектора, сама линейно зависима.

Следствие 2. Если система векторов линейно независима, то каждая ее подсистема линейно независима.

Доказательство. Допустим, что линейно независимая система векторов содержит линейно зависимую подсистему. По свойству 1, система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, сама является линейно зависимой. Противоречие. Таким образом, каждая подсистема линейно независимой системы векторов линейно независима.

Свойство 2. Пусть система векторов , , …, (1) линейно независима. Вектор является линейной комбинацией векторов системы (1) тогда и только тогда, когда система векторов

, , , …, (3) линейно зависима.

Доказательство. Необходимость. Пусть вектор линейно выражается через систему векторов (1). Тогда по определению система векторов (3) является линейно зависимой.

Достаточность. Пусть система векторов (3) является линейно зависимой. Тогда существуют скаляры a₁, a₂,..., a_k, b ÎР, не равные нулю одновременно, такие, что

(4) a₁+ a₂+ … + a_k+ b=.

Если b=0, то из равенства (4) следует линейная зависимость системы векторов (1), что противоречит условию. Значит, b¹0. Тогда существует (b)^-1 Î Р и

= --- … - . Так как , , … , Î Р, то является линейной комбинацией остальных векторов системы (3). Поэтому система векторов (3) линейно зависима по определению. Свойство доказано.

Свойство 3 (основная лемма о линейной зависимости). Пусть даны системы векторов (1) , , …, и (2) , ,…, из векторного пространства V. Если и каждый вектор системы (2) является линейной комбинацией системы векторов (1), то система векторов (2) линейно зависима.

Следствие 1. Пусть даны системы векторов (1) , , …, и (6) , ,…, из векторного пространства V. Если l >k и каждый вектор системы векторов (6) является линейной комбинацией системы векторов (1), то система векторов (6) является линейно зависимой. Другими словами, если большая система векторов является линейной комбинацией меньшей, то большая система векторов линейно зависима.

Следствие 2. Пусть даны системы векторов (1) и (6) из векторного пространства V. Если каждый вектор системы векторов (6) является линейной комбинацией системы векторов (1), и система векторов (6) является линейно независимой, то l £ k.