Дисперсия случайной величины

Определение 11.Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата
отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

(18)

Если - дискретная случайная величина, принимающая конечное число значений, то

(19)

Если - дискретная случайная величина, принимающая бесконечное , но счетное число значений, то

(20)

Если - непрерывная случайная величина, принимающая значения на конечном промежутке , то

(21)

Если - непрерывная случайная величина, принимающая значения на всей числовой оси, то

(22)

Дисперсия для дискретной случайной величины, принимающей бесконечное, но счетное число значений,
существует, если ряд (20) сходится, а для непрерывной случайной величины, принимающейзначения на всей
числовой оси, если интеграл (22) сходится.

Свойства дисперсии.

1. Дисперсия константы равна нулю: ;
2. ;
3. Если и - независимые случайные величины, то ;
4. Если и - независимые случайные величины, то .

Дисперсию иногда удобнее вычислять по формуле:

(23)

Если - дискретная случайная величина с конечным числом значений, то

(24)

Если - дискретная случайная величина, принимающая бесконечное, но счетное число значений, то

(25)

Если - непрерывная случайная величина, принимающая значения на конечном промежутке , то

(26)

Если непрерывная случайная величина, принимающая значения на всей числовой оси, то

(27)

Дисперсия является характеристикой рассеивания возможных значений случайной величины, но она лишена
наглядности, так как имеет размерность квадрата случайной величины. Характеристикой рассеивания
случайной величины, совпадающей по размерности со случайной величиной, является среднее квадратичное
отклонение.

 

Определение 12.Средним квадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из
дисперсии.

(28)

Пример 13.Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины
- числа появлений некоторого события в одном испытании, если вероятность появления события
в одном испытании равна 0,8.
Решение.Случайная величина является дискретной случайной величиной, она принимает два значения:
0 с вероятностью 1-0,8=0,2 и 1 с вероятностью 0,8. Тогда ряд распределения данной случайной величины будет
иметь вид:

 

	0,2	0,8

 

Сначала найдем математическое ожидание по формуле , тогда
.
Теперь вычислим дисперсию, используя формулу (19):
.
Тогда среднее квадратичное отклонение равно: .

Вопрос.Дисперсия случайной величины - это неотрицательное число.

неверно

верно