Th. О разложении многочлена на неприводимые множители.

Пример.на.

1.

2.

3.

-1				-5	-4
		-1	-4

§ Делимость двучленов на бином.

Th1. . Разность “n”- ых степеней двух чисел всегда делится на разность первых степеней этих чисел.

Th2.

 

Th3.

Th4.

 

Три замечательных тождества.

I.

II.

III.

Замечание: если на сумму (x+a) многочлен делится, то всегда будет чередование знаков слагаемых в правой части.

Пример1:

 

 

Пример2: Разложить на множители.

 

Th. Основная теорема алгебры (th. Гаусса)

Любой многочлен на множестве С чисел имеет по крайней мере один корень или действительный или комплексный.

 

Любой многочлен рассматриваемый на множестве С имеет ровно столько корней, какова его степень при условии, что каждый кратный «к» раз корень считается «к» раз. Причём каждый многочлен допускает представление в виде: (из приведенных ранее теорем 2 и 3)

a) , где – кратность корней .

– различные корни.

b) Любой многочлен с действительными коэффициентами.

 

Действительные различные корни - кратность корней, такие, что такие, что

Th. О разложении правильной рациональной дроби на сумму элементарных дробей. Пусть и знаменатель

Тогда:

 

Разложение (1) – причём это разложение (равенство) единственно. Неопределённые (неизвестные) коэффициенты находятся следующим образом. Приводят правую часть равенства (1) к общему знаменателю

 

Коэффициенты многочлена являются линейными функциями от неизвестных коэффициентов.

, число неопределенных коэффициентов равно “m”, т.к. в (2) знаменатели равны, то получается равенство, т.е. то тождество:

(3)

Справедливо для любых “x”.

Как известно из Th. Для того,

чтобы выполнялось равенство (3) чтобы равнялись коэффициенты при одинаковых степенях “x”.

a) Отсюда получаем систему из “m” линейного уравнения относительно неизвестных коэффициентов.

 

Решение этой системы существует и единственно в силу Th о разложении правильной рациональной дроби.

b) Пусть m – действительных чисел причем , тогда

(5)

В левой части (5) стоят константы, в правой линейные комбинации неизвестных коэффициентов . Число уравнений “m”. Т.о. опять получили систему из “m” линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов. Можно показать, что её решение существует и единственно. Этот способ удобно применять, когда корни многочлена действительные.

c) Обычно используют комбинацию способов а) и b). Строят уравнения типа (5), в тех точках, где корни . Недостающее число уравнений до “m” желательно добирать по способу а). при этом желательно брать уравнения соответствующие как можно большей степени “x”, или как можно меньшей.

Практическое правило разложения правильной рациональной дроби на простые.

1. Раскладываем знаменатель на простые множители.

2. Записываем разложение данной рациональной дроби на простейшие элементы с неопределенными коэффициентами.

3. Полученное равенство умножаем на общий знаменатель.

4. (1-ый вариант) Раскрываем скобки, приводим подобные члены и уравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.

(2-ой вариант) Скобок не раскрываем, но даём аргументу “x” столько различных значений, сколько имеется неопределённых коэффициентов (используя в первую очередь корни знаменателя).

5. В результате получим систему уравнений первой степени относительно искомых коэффициентов, из которых они определяются.

6. интегрирование рациональных функций.