Метод замены переменной (метод подстановки).

Пусть требуется найти , причем непосредственным интегрированием это не удается .

Сделаем замену переменной в подинтегральном выражении, положив

, (2.3)

где - непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию. Тогда и справедливо равенство

. (2.4)

Подчеркнем, что после нахождения интеграла в (2.4) следует в полученный результат подставить вместо его выражение через , найденное из равенства (2.3).

Удачный выбор новой переменной существенно облегчает нахождение интеграла.

При этом помогут следующие соображения: если подынтегральное выражение содержит функции , , , , , , , , у которых вместо аргументом является , как правило, применяется подстановка . Если подынтегральное выражение содержит корни разных степеней из одного и того же выражения, то это выражение и принимается за новую переменную в такой степени, чтобы все корни «извлекались».

Пример 2.3. Найти интегралы

, , .