Декартово произведение множеств

Декартовым произведением X ´ Y двух множеств X и Y называется множество всех упорядоченных пар (x, у) таких, что x Î X, а у Î Y .

Пример 1. Пусть: X = {1,2}, Y = {-1,0,1} .

X ´ Y = (1,-1), (1,0), (1,1), (2,-1), (2,0), (2,1) ,

Y ´ X = (-1,1), (-1,2), (0,1), (0,2), (1,1), (1,2) .

Очевидно, что для операции декартова произведе­ния множеств закон коммутативности не выполняется:

X ´ Y ¹ Y ´ X

Декартовым произведением множеств X₁, X₂, …, X_n будем называть множество X₁ ´ X₂ ´ … ´ X_n всех упорядоченных наборов (х₁, х₂ , …, х_n) таких, что:

x_i Î Х_i ; i = 1, 2 ,…, n.

 

Пример 2. X = {x₁, x₂, x₃, x₄} и Y = {у₁, у₂, у₃}. Декартово произведение X ´ Y представлено таблицей 1.1.

Таблица 1.1. Пример декартова произведения

X \ Y	у1	у2	у3
x1	(x1, у1)	(x1, y2)	(x1, у3)
х2	(х2, у1)	(х2, y2)	(x2, у3)
х3	(х3, у1)	(х3, y2)	(x3, у3)
х4	(х4, у1)	(х4, y2)	(х4, у3)

 

Наглядно декартово произведение множеств можно представить в виде графика (рис. 1.7). Здесь кружочками отмечены элементы множества X ´ Y = {1,2,3} ´ {2,4}.

 

Рис. 1.7. График декартова произведения Х ´ Y