Анализ уравнений скорости и расхода.
Выше было получено уравнение расхода через сечение
При условии p1 = const из этого уравнения следует, что при р2 = p1 G = 0. Против этого трудно возразить, т.к. перепад давления на дросселе отсутствует. Однако при р2 = 0 тоже получаем, что G = 0. Другими словами, при вакууме на выходе в него газ не идет. Это не соответствует реальным фактам. Следовательно, нужно уточнить уравнение расхода.
Рассмотрим график расхода
На участке k< р2/ p1 < 1формула дает значения расхода, совпадающие с опытом. На участке 0 < р2/ p1 < kсовпадения нет. Ученые Сен-Венан и Вантцель предложили следующую гипотезу: на участке k< р2/ p1 < 1 давление за дросселем равно давлению среды, куда происходит истечение, на участке 0 < р2/ p1 < kдавление за дросселем не равно давлению среды, даже если в ней вакуум. Давление в этом случае остается постоянным.
СЕН-ВЕНАН (Saint-Venant) (Барре де Сен-Венан) Адемар Жан Клод (1797-1886) - французский ученый в области механики. Труды по теории упругости (т. н. принцип Сен-Венана), сопротивлению материалов и др. Заложил основы теории пластичности.
Ванцéль (Вантцель) Пьер Лоран (Wantzell Pierre Laurent), род. 1814 - ум. 1848.
Французский математик. Работал в Политехнической школе в Париже. Основные труды по алгебре и геометрии. Дал (1837) первое строгое доказательство невозможности удвоения куба и трисекции угла с помощью циркуля и линейки.
Для определения перепада давления, когда этот момент наступает необходимо найти максиум подкоренного выражения
f() = 2/k- (k+1)/k
df()/d = 0
откуда
Критический перепад давления не зависит от параметров состояния и определяется только видом рабочего тела. Полученное сотношение позволяет определить и величину давления, которое устанавливается за сечением pk= kp1.
Величина максимального (критического) расхода определяется подстановкой в уравнение расхода критического перепада
откуда получаем
или
G = A p1Ф(RT1)Ф(k).
Для докритического режима истечения по аналогии расход будем записывать
G = A p1Ф(RT1)Ф(k)Ф().
Приведенные соотношения для массового расхода газа применимы для т.н. нестесненного газового потока. В реальных условиях газ течет по некоторым каналам и взаимодействует со стенками канала. Считается, что на стенках канала скорость равна нулю, в отличии от ядра потока.
Соотношения для расхода газа через сужение будет не точным так как:
1. Поток принят одномерным и не учитывается изменение скорости в поперечном сечении.
2. Принято, что скорость на входе равно нулю, что естественно не так.
3. Поток рассматривался без теплообмена с внешней стредой, что тоже возможно только в идеале.
Все эти неправильности принято учитывать коэффициентом расхода, который в некоторых частных случаях может быть определен теоретически, а в основном определяется как отношение истинного расхода к теоретическому. Истинный расход определяется экспериментально.
= Gэ/Gт.
С учетом сказанного в последующих выводах мы будем использовать уравнения расходов с учетом коэффициента расхода
G = A p1Ф(RT1)Ф(k).
Для докритического режима истечения по аналогии расход будем записывать
G = A p1Ф(RT1)Ф(k)Ф().
Ниже приводится график зависимости функции Ф(k) от показателя адиабаты k.
Подставив в уравнение скорости течения газа критическое значения отношения давлений получим
Это значение критической скорости потока, выраженное через входную температуру Т1. На основании связи параметров в адиабатическом потоке
Tk/T1= (pk/ p1)(k-1)/k
подставляя сюда критическое отношение давлений получим, что T1 = Tk(k+1)/2.
Подставляя Т1 в уравнение критической скорости получим
В последнем уравнении скорость определена через температуру в критическом сечении.
По формуле Лапласа скорость распространения звука (скорость распространения малых деформаций) в упругой среде равна
ЛАПЛАС Пьер Симон (Laplace 1749-1827).Пьер Симон Лаплас родился 23 марта 1749г. в местечке Бомон-ан-Ож (Нормандия) в семье небогатого крестьянина. Впоследствии граф и маркиз Лаплас стыдился своего незнатного происхождения, поэтому о его детских и юношеских годах известно очень немного. Пьер Симон рано проявил свои выдающиеся способности, с блеском окончил школу бенедиктинцев, из которой вышел, между прочим, убежденным атеистом, и был оставлен там же в Бомоне, преподавателем математике в военной школе. В 17 лет написал свою первую научную работу. Жизнь в захолустье тяготила Лапласа и в 1766г. он отправился в Париж. Там с помощью Д'Аламбера он получил место преподавателя в Военной школе Парижа. В 1773г. Лаплас становится адъюнктом, а в 1785г. действительным членом Парижской академии. В дальнейшем он был избран членом королевских обществ в Турине и Копенгагене (1801г.), академии наук в Геттингене (1802г.), Берлине (1808г.), и Голландии (1809г.). 13 октября 1802г. Лаплас стал почетным членом Петербургской академии наук. Лаплас был широко образованным человеком. Он знал языки, историю, философию, химию, биологию, не говоря уже об астрономии, математике и физике. Любил поэзию, музыку, живопись. Обладал прекрасной памятью и до глубокой старости наизусть читал целые страницы из Расина. После переворота пришедший к власти Наполеон назначил Лапласа министром внутренних дел. На том посту ученый пробыл пол года и был заменен братом Наполеона Люсьеном Бонапартом. В 1803г. Наполеон сделал Лапласа вице-президентом сената, а через месяц - канцлером. В 1804г. ученый получил орден Почетного легиона. Семейная жизнь Лапласа, по воспоминаниям современников, текла ровно и приятно. В 1778г. он женился на Шарлоте де Курти - красивой женщине с мягким, добрым характером и был счастлив в личной жизни. Жена любила своего мужа, преклонялась перед ним и делала все, чтобы оградить его от домашних забот и волнений, чтобы все свое время он мог посвящать занятиям наук. У него была дочь и сын- впоследствии генерал Лаплас. После реставрации монархии Лаплас пользовался благосклонность Людовика XVIII. Король сделал его пэром Франции и пожаловал титул маркиза. В 1817г. Лаплас стал членом Французской академии, т.е. одним из сорока бессмертных. Умер ученый 5 марта 1827г. после недолгой болезни.
Научная деятельность Лапласа была чрезвычайно разнообразной. Его перу принадлежат фундаментальные работы по дифференциальным уравнениям. Он ввел в математику шаровые функции, которые применяются для нахождения общего решения уравнения Лапласа и при решении задач математической физики для областей, ограниченных сферическими поверхностями. Лаплас является одним из создателей теории вероятностей; развил и систематизировал результаты, полученные другими математиками, упростил методы доказательства. Доказал теорему об отклонении частоты появления события от его вероятности, которая теперь называется предельной теоремой Муавра-Лапласа. Развил теорию ошибок. Ввел теоремы сложения и умножения вероятностей, понятия производящих функций и математического ожидания. "Аналитическая теория вероятностей" Лапласа издавалась трижды при жизни автора (1812, 1814, 1820гг.)
Наибольшее количество исследований Лапласа относится к небесной механике. Он стремился все видимые движения небесных тел объяснить, опираясь на закон всемирного тяготения Ньютона, и это ему удалось. Лаплас доказал устойчивость Солнечной системы; показал, что средняя скорость движения Луны зависит от эксцентриситета земной орбиты, а тот в свою очередь меняется под действием притяжения планет. Лаплас доказал, что это движение долгопериодическое и что через некоторое время Луна станет двигаться замедленно. Он определил величину сжатия Земли у полюсов. В 1780г. Лаплас предложил новый способ вычисления орбит небесных тел. Пришел к выводу, что кольцо Сатурна не может быть сплошным, иначе оно было бы неустойчивым. Предсказал сжатие Сатурна у полюсов; установил законы движения спутников Юпитера. Полученные результаты были опубликованы Лапласом в его пятитомном классическом сочинении "Трактат о небесной механике" (1798-1825гг.).
В физике Лаплас вывел формулу для скорости распространения звука в воздухе, создал ледяной колориметр. Получил барометрическую формулу для вычисления изменения плотности воздуха с высотой, учитывающего его влажность, выполнил ряд работ по теории капиллярности и установил закон (носящий его имя), который позволяет определить величину капиллярного давления и тем самым записать условие механического равновесия для подвижных (жидких) поверхностей раздела
Сравнивая эти два выражения видим, что в критическом сечении скорость потока равна местной скорости звука. Отношение местной скорости потока к местной скорости звука называется числом Маха
М =/a.
Число́ Ма́ха (М) - один из критериев подобия в механике жидкости и газа. Представляет собой отношение скорости течения в данной точке газового потока к местной скорости распространения звука в движущейся среде - назван по имени австрийского ученого Эрнста Маха (нем. E. Mach).
Эрнст Мах (нем. Ernst Mach, 18 февраля 1838(18380218), Брюнн, Австро-Венгрия, ныне Брно, Чехия — 19 февраля 1916, Мюнхен, Германия) — австрийский физик и философ-позитивист.
Окончил Венский университет в 1860 году.
Приват-доцент в Венском университете (с 1861), профессор физики в Граце (с 1864), профессор физики (с 1867) и ректор (с 1879) Карлова университета в Праге, профессор Немецкого университета в Праге (с 1882). Профессор философии Венского университета (1895—1901).
Маху принадлежит ряд важных физических исследований. Первые работы Маха посвящены изучению процессов слуха и зрения (объяснение механизма действия вестибулярного аппарата, открытие оптического явления — так называемых колец, или полос, Маха). К этому периоду относятся работы «О цвете двойных звёзд на основании принципа Доплера» (1861), «Объяснение музыкальной теории Гельмгольца» 1866), «О стробоскопическом определении высоты тона» (1873), «Об отражении и преломлении звука» (вместе с Фишером, 1873), «Оптико-акустические эксперименты» (1873), «Основы учения о кинестезии» (1875) и др. С 1881 года Мах изучал аэродинамические процессы, сопровождающие сверхзвуковое движение тел. Он открыл и исследовал процесс возникновения ударной волны. В этой области именем Маха назван ряд величин и понятий: число Маха, конус Маха и др.
Большой известностью пользуются обзорные сочинения Маха: «История и корень принципа сохранения работы» (1872), «Механика: Историко-критический очерк её развития» (1883), «Анализ ощущений» (1886). Труды Маха богаты экскурсами в область философии. Таковы лекции «Экономическая природа физического исследования» (1882) и «О преобразовании и приспособлении в естественнонаучной мысли» (1884).
Философские взгляды Маха получили широкую известность в конце XIX — начале XX веков благодаря содержавшейся в них попытке разрешить кризис в физике с помощью нового истолкования исходных понятий классической (ньютонианской) физики. Представлениям об абсолютном пространстве, времени, движении, силе и т. п. Мах противопоставил релятивистское понимание этих категорий, которые, по Маху, субъективны по своему происхождению. В духе субъективного идеализма Мах утверждал, что мир есть «комплекс ощущений», соответственно задача науки — лишь описывать эти «ощущения».
По Маху, не тела производят ощущения, а комплексы ощущений, отличающиеся относительным постоянством, получают особые названия и обозначаются как тела. Последними элементами являются цвета, звуки и т. д., и мы должны исследовать их связь. Наше «я» есть не реальное единство, но единство практическое, группа элементов, связанная между собой крепче, а с другими группами того же рода — слабее. Для Маха существует не противопоставление «мира» и «я», ощущения и предмета, а только связь элементов. Науке, по его мнению, предстоит просто признать эту связь и пользоваться ею для выработки ясного понятия о существующем, отказавшись от попыток объяснить существование самих элементов.
В области философии физики Мах предложил принцип, согласно которому наличие у тела инертной массы является следствием гравитационного взаимодействия его со всем веществом Вселенной (принцип Маха).
Мах был противником атомизма: поскольку атомы в то время были недоступны наблюдению, Мах рассматривал их как своего рода гипотезу для объяснения ряда физических и химических явлений, без которой можно обойтись. Мыслитель утверждал, что поскольку молекулы являются мыслительными конструктами и их существование не может быть проверено прямым наблюдением, нет никакой необходимости представлять их в пространстве трёх, а не другого, большего числа измерений.
В эпистемологии Махом было введено понятие о мысленном эксперименте.
Мах оказал значительное влияние на становление и развитие философии неопозитивизма. Его философские взгляды как развитие идей классического позитивизма, выдвинутых Огюстом Контом, Гербертом Спенсером, стали второй стадией развития позитивизма, названной эмпириокритицизм (их также иногда назвают махизм по имени автора). Субъективно-идеалистические идеи Маха были подвергнуты резкой критике В. И. Лениным («Материализм и эмпириокритицизм», 1908, изд. 1909) и Г. В. Плехановым (см. сборник «Против философского ревизионизма», М., 1935)