Построение общего решения однородного линейного уравнения второго порядка в случае, когда известно одно частное решение.
(1).
У1 – частное решение уравнения (1), т.е. L[y] = 0.
Сделаем замену 
(2)
(3).
Подставим (3) и (2) в (1). Получим
(4)
(5)
(6). Положим с=1, тогда: 
(7).
(8) - общее решение уравнения (1).
Пример. 
(9).
Рассмотрим:
Таким образом: 
- общее решение уравнения (9).
ЛЕКЦИЯ 6:
18. Интегрирование при помощи степенных и обобщённых степенных рядов.
Определение: Функция называется голоморфной в точке 
, если она представима в точке , т.е. 
, причём ряд сходится в интервале 
, (
).
Сформулируем теорему Коши для линейного дифференциального уравнения n-ого порядка:
(1).
Заданы начальные условия 
, 
,…,
при 
Теорема Коши:
Если все функции 
и 
являются голоморфными в точке 
, т.е. 
, 
, 
-сходятся в области . Тогда существует единственное решение с заданными начальными условиями, голоморфными в области ,
(2)
Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка.
(3)
, 
, 
,
, при 
(3)
Тогда на основании теоремы Коши существует единственное голоморфное в окрестности 
решение 
(4)
Подставим решение (4) в уравнение (3):
+
+
(5)
или
+
+
(6)
Воспользуемся формулой произведения степенных рядов.
(7)
Тогда уравнение (6) имеет вид:
+
+ 
(8)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим:
+
+
(9)
: 
, находим С2
: 
, находим С3.
И так далее.
Коэффициенты находятся единственным образом.
+
+
Пусть 
, 
и 
,
Тогда мы получим два частные решения 
и 
, которые образуют в интервале 
фундаментальную систему.
Следовательно, общее решение 
построено в окрестности точки , которая называется обыкновенной.
Точка 
называется обыкновенной, если все коэффициенты уравнения голоморфны в этой точке, в противном случае, точку будем называть особой точкой дифференциального уравнения.
На практике удобно брать фундаментальную систему решений ??? в точке .
В нашем случае .
(10)
,
определяя коэффициенты 
и 
по формуле (9).
Пример 1:
Рассмотрим уравнение Эйри:
(11)
очевидно, что обыкновенная точка.
, (12)
Подставим (12) в уравнение (11):
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим:
: 
: 
: 
: 
: 
: 
Аналогично находим :
- общее решение уравнения Эйри.
Рассмотрим уравнение Бесселя n-ого порядка:
(13),
когда 
(14)
-особая точка.
Пусть 
, замена 
(15)
Приводим уравнение (14) к уравнению:
(16)
,
или
(17)
Функция Бесселя порядка:
: 
(18)
-: 
Ни , ни не являются голоморфными решениями в окрестности точки 
. Этого следовало ожидать, т.к. является особой точкой.
Обобщённым степенным рядом по степеням 
называется ряд вида 
, где показатель ρ есть некоторое постоянное число, а ряд 
есть сходящийся степенной ряд, причём 
.
Какой вид должны иметь коэффициенты уравнения (1) в окрестности особой точки 
, чтобы хоть одно из частных решений было представимо в окрестности этой особой точки в виде обобщённого степенного ряда по степеням , т.е. 
, (19)
Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема:
Теорема:
Для того, чтобы уравнение (1) имело в окрестности точки 
хоть одно частное решение в виде обобщённого степенного ряда (19), достаточно, чтобы это уравнение имело вид:
, (20)
где 
, 
сходящиеся степенные ряды при 
, причём 
не равны нулю одновременно, ибо в противном случае точка не особая и существует два линейно независимых решения, голоморфных в точке 
, и ряд заведомо сходится в той же области.
ЛЕКЦИЯ 7.