Заполненный рабочий бланк для вычислений

 

 

 

Вычисление средних	Вычисление выборочного среднего квадратического отклонения
Варианты варьирования факторов Суммы предыдущего цикла Средние предыдущего цикла Новые наблюдения   Ошибки наблюдений Новые суммы данного цикла   Новые средние данного цикла	g 6 7 8 9 10   158 176 164 142 160 уg,m-1 79 88 82 71 80 ygm 82 85 79 68 65 dgm -3 3 3 3 15 240 261 243 210 225 ygm 80 87 81 70 75	Априорная оценка   Предыдущая сумма отклонений (по всем блокам) Предыдущее осредненное отклонение (по всем блокам) Новое значение отклонения Размах ошибок наблюдений Новая сумма отклонений (по всем блокам)   Новое осредненное отклонение (по всем блокам)	s   smh   Rmh	7,0     28,5   9,5 6,3   18,0   34,8   8,7

Вычисление оценок коэффициентов регрессии	Вычисление доверительных границ
Совместные оценки коэффициентов в двух блоках цикла   Смещения среднего в двух блоках цикла	b1±b23 b2±b13 b3±b12		-1,75 -3,25 1,75     -2,20		-1,0 -4,0 4,5     3,6	Для нового среднего Для новой совместной оценки Для нового смещения среднего (по одному блоку)		±10,0     ±5,0   ±8,95
Разделенные оценки коэффициентов в цикле   Обобщенное смещение среднего в цикле		b1 b2 b3   bD1	-1,375 -3,625 3,125   0,700	b23 b13 b12	-0,375 0,375 -1,375	Для новой разделенной оценки     Для нового обобщенного смещения среднего (по циклу)		±3,55   ±6,3

2°. Оценивание смещения среднего. Обычно смещение среднего b_D1 вычисляется как разность между общим средним арифметическим из осредненных по m проведенным циклам результатов наблюдении для всех вариантов варьирования цикла (блока и значением отклика , полученным при осреднении наблюдений) в центральной точке (z_i=0, i=l, 2, ..., n):

. (11.4)

Другой способ определения смещения среднего b_D2 состоит в вычислении разности между средним арифметическим из осредненных по т проведенным циклам результатов наблюдений, полученных в периферийных точках плана цикла (блока), и значением отклика , полученным при осреднении наблюдений в центральной точке:

. (11.5)

Вычисление смещения среднего выполняют при блочном разбиении отдельно по блокам в середине левой части расчетного бланка и результаты, найденные для каждого блока в отдельности, осредняют в конце цикла. Смещение среднего может до некоторой степени служить мерой нелинейности функции отклика. Так как выборочный свободный член b₀ или уравнения регрессии является совместной оценкой теоретического свободного члена b₀ и всех теоретических коэффициентов регрессии b_ii при квадратичных членах , т. е. b₀, , а значение отклика в центральной точке служит оценкой только теоретического свободного члена, т. е. , то из формул для вычисления смещения среднего следует, что . Это означает, что смещение среднего служит оценкой суммы всех теоретических коэффициентов регрессии при квадратичных членах и поэтому его величина позволяет судить о степени кривизны поверхности отклика. Если при проведении эксперимента исследуемая локальная часть ее действительно линейна, то нетрудно видеть, что смещение равно нулю. Для выпуклой поверхности вблизи максимума оно отрицательно, тогда как для вогнутой поверхности вблизи минимума—положительно. Оценка коэффициента регрессии при взаимодействии также может характеризовать кривизну поверхности отклика, поскольку она является величиной второго порядка. Если смещение b_D и оценки коэффициентов регрессии при взаимодействиях соизмеримы с оценками коэффициентов регрессии для факторов, это означает, что центральная точка плана приблизилась к экстремуму и для точного определения координат последнего, а также описания в его окрестности поверхности отклика следует применить другую технику исследования.

Смещение среднего по стоимости готовой продукции служит мерой стоимости информации, получаемой при ЭВОП. Если изучаемая область стоимостной поверхности отклика линейна, то проведение эксперимента по методу эволюционного планирования не вызовет увеличения стоимости продукции. На практике эта поверхность, как правило, вогнута, поскольку обычно достигается минимум стоимости. Поэтому постановка опытов для сбора информации по эволюционной схеме вызовет дополнительные затраты. Правда, их можно уменьшить за счет постоянного приближения условий ведения процесса к оптимальным.

3°. Оценивание ошибки воспроизводимости. Чтобы сократить расчеты, вместо оценки дисперсии воспроизводимости, основанной на вычислении суммы квадратов отклонений, можно использовать данные о размахе ошибок наблюдений, полученных в независимых опытах. Оценку ошибки наблюдений d_gm определяют после проведения m циклов для каждого g-го варианта варьирования как разность между средним арифметическим из результатов наблюдений m-1 циклов и результатом наблюдения y_gm т-го цикла:

. (11.6)

Дисперсия ошибки наблюдения, вычисленная по данным m циклов в каждом h-м блоке:

. (11.7)

может служить смещенной оценкой для дисперсии воспроизводимости s²{у}, так как

. (11.8)

Отсюда следует, что по результатам наблюдений т циклов оценка , характеризующая ошибку воспроизводимости, определяется в конце каждого h-гo блока m-го цикла выражением

. (11.9)

Здесь выборочное среднее квадратическое отклонение проще находить не из общей вышеприведенной формулы, а по размаху R_mh величины d_gm в h-м блоке m-гo цикла:

; (11.10)

умножая размах ошибки на коэффициент a_k, зависящий от числа k=2^n-p+1 вариантов варьирования в цикле (блоке), получим

. (11.11)

Отсюда

, (11.12)

где значения коэффициента

(11.13)

табулированы [2] в зависимости от числа m проведенных циклов и числа k вариантов варьирования факторов в цикле (блоке). Оценка среднего квадратического отклонения получается после проведения каждого цикла (блока), но не следует отбрасывать предшествующие оценки и использовать только последнюю. Соответствующая обобщенная оценка для s{y} после реализации т циклов без блочных разбиений является средним арифметическим из всех ранее полученных оценок:

. (11.14)

В случае разбиения плана цикла на два блока обобщенная оценка для s{y} в конце каждого h-го блока определяется выражением

. (11.15)

Заметим, что вычисление выборочного среднего квадратического отклонения возможно лишь после окончания второго цикла, так как после первого нет средних арифметических значений отклика по данным прошлых циклов. Процедуру вычисления выборочного среднего квадратического отклонения ошибки воспроизводимости производят вверху в правой части расчетного бланка

4°. Оценивание точности выборочных коэффициентов регрессии и смещения среднего. Выборочные коэффициенты регрессии и смещение среднего вычисляются с определенными доверительными границами, которые получаются из выборочного среднего квадратического отклонения соответствующей оценки умножением его на критическое значение параметра t_кр распределения Стьюдента. Этот параметр зависит от доверительной вероятности р и числастепеней свободы v, связанного с выборочной дисперсией воспроизводимости, т. е. изменяется по мере выполнения серии циклов. Однако можно получить достаточное для предварительных выводов приближение в определении доверительных границ при р=0,95 и постоянном значении t_кр=2.

Ниже приведены доверительные границы, которые получаются в результате проведения m циклов без разбиения на блоки или каждого блока т-го цикла при блочном разбиении в предположении, что ошибки наблюдений стохастически независимы:

1) для средних арифметических значений величины отклика, вычисленных по т параллельным циклам,

; (11.16)

2) для оценок коэффициентов регрессии

; (11.17)

3) для смещения среднего, вычисляемого по двум различным формулам:

, (11.18)

, (11.19)

где р характеризует степень дробности плана цикла или блока при блочном разбиении. При разбиении плана цикла на ортогональные блоки с помощью приведенных выше выражений вычисляют доверительные границы для совместных оценок теоретических коэффициентов регрессии и смещений среднего каждого блока m-го цикла. Доверительные же границы, с которыми определяются раздельные оценки коэффициентов и обобщенное смещение в конце каждого цикла, находят по следующим формулам:

1) для разделенных оценок коэффициентов регрессии

; (11.20)

2) для обобщенного смещения среднего, вычисляемого по двум альтернативным выражениям:

, (11.21)

. (11.22)

Подсчет доверительных границ для совместных оценок выполняют в середине, а для разделенных—внизу в правой части расчетного бланка.

5°. Систематизация собранной информации. Полученные на рабочем бланке результаты расчета каждого цикла сводят в информационную таблицу, находящуюся в кабинете руководителя производством в таком виде, чтобы оператор мог легко заметить, какие изменения факторов следовало бы сделать для улучшения технологического процесса, какие типы изменений, ухудшающие качественные или экономические показатели эффективности ведения процесса, нежелательны, каковы затраты при данной системе планирования и т. д. Запись в таблице изменяют в конце каждого цикла и производят мелом по трафарету (табл. 11.5) на грифельной доске, чтобы просто было стирать цифры и заменяв их новыми. В целях лучшей интерпретации собранной информации и ее представления в наиболее наглядной форме средние результаты наблюдений для различных условий проводимого эксперимента фиксируют в соответствующих вершинах геометрической фигуры, представляющей собой схему плана цикла в факторном пространстве. Для двухфакторной задачи планирования такой схемой является квадрат с центром в точке рабочего режима и с вершинами, соответствующими N=2² вариантам варьирования факторов, для трехфакторной — куб с центром в той же точке и N=2³ вершинами, в которых производятся опыты.

В верхней части таблицы отмечают номера фазы и цикла планирования, а также указывают условия проведения данной фазы, т. е. включенные в нее факторы, их уровни варьирования и схему плана цикла, которая определяет порядок и условия проведения опытов. В нижней части таблицы приводят результаты обработки наблюдений по завершении данного цикла для одного или нескольких откликов процесса, влияние факторов на которые анализируется. По каждому отклику указывают требования, которые необходимо удовлетворить. Далее следуют средние арифметические значения величин откликов, вычисленные для каждого варианта варьирования по данным всех реализованных циклов. Их запись отражает схему плана цикла, что позволяет легко оценить общий смысл результатов с целью принятия решения изменить рабочий режим ведения процесса в желаемую сторону изменения откликов.

6°. Принятие решения. На основе внимательного изучения результатов, записанных в информационной таблице, и с учетом требований, которые необходимо удовлетворить, а также априорных сведений о других факторах, влияющих на отклики, по завершении любого цикла можно прийти к альтернативным решениям:

1) собрать дополнительные сведения о процессе на данной фазе планирования с целью более четкого выделения полезного сигнала и уменьшения величины среднеквадратической погрешности в определении коэффициентов регрессии;

Таблица 11.5

Заполненный трафарет информационной таблицы

Фаза u=2

Цикл m=3

Факторы	хi	Нормированные zi	Время реакции х1	Температура х2	Кислотность-основность х2
Единицы измерения Базовые уровни Интервалы варьирования Нижние уровни Верхние уровни	[xi] xi0 Dxi xiн xiв	б/разм. -1 +1	мин	°С	рН
Обозначения нормированных факторов	z1	z2	z3
-1 +1 +1 +1 -1 -1 Факторное пространство и схема плана цикла
Отклики	у	Количество производимого продукта	Себестоимость ед. производимого продукта
Единицы измерения	[y]	кг	руб/кг
Требования к откликам	Максимум	Минимум
Средние арифметические значения откликов для всех вариантов варьирования в цикле
Доверительные границы средних с надежностью р=0,95	±10,0	±21,0
Оценки коэффициентов регрессии и их доверительные границы с надежностью 0,95	b1 b2 b3 b12 b13 b23 bD1	-1,375±3,55 -3,625±3,55 3,125±3,55 -1,375±3,55 0,375±3,55 -0,375±3,55 0,700±6,30	-0,05±7,46 4,15±7,46 8,95±7,46 -3,85±7,46 -1,45±7,46 2,55±7,46 3,26±13,2
Среднее квадратическое отклонение ошибки наблюдения		8,7	18,3
Предыдущая оценка среднего квадратического отклонения ошибки наблюдения		9,5	19,5

 

2) начать новую фазу планирования, т. е. либо: а) увеличить интервал варьирования факторов для получения желаемого соотношения между приращением величины отклика и величиной шума; б) сместить центральную точку плана цикла в факторном пространстве прежних факторов в точку наилучшего варианта варьирования или на один шаг в направлении градиента целевого отклика и спланировать цикл новой фазы вокруг этой точки; в) исследовать смещение центральной точки в направлении градиента целевого отклика путем серии пробных шагов, испытывая на каждой стадии новые и лучшие прошлые условия попеременно до тех пор, пока не накопится достаточное количество информации, чтобы обосновать сдвиг схемы плана на новое место; г) заменить новыми факторами один (или более) старый, зафиксировав исключенные на выбранном оптимальном уровне.

При одновременном анализе нескольких откликов смещение центральной точки плана цикла в факторном пространстве производят с учетом требований не только по целевому отклику, но и по другим откликам с наложенными ограничениями, преследуя цель нахождения условного экстремума.

ЛИТЕРАТУРА

1. Горский В. Г., Адлер Ю. П. Планирование промышленных экспериментов.—М.: Металлургия, 1974.

2. Иванов А. 3. Эволюционное планирование экстремальных экспериментов.— В кн.: Лабораторный практикум по курсу “Теоретические основы планирования экспериментальных исследований”.—М.: МЭИ, 1974

3. Иванов А. 3., Круг Г. К.- Оптимизация сложного технологического процесса методом “эволюционного” планирования эксперимента.—Труды МЭИ. 1963, вып. 51.

4. Иванов А. 3., Круг Г. К., Филаретов Г. ф. Специальные вопросы планирования эксперимента.—М.: МЭИ, 1980.

5. Иванов А. 3., Круг Г. К., Чирков И. М. Экспериментально-статистические: методы получения математического описания и оптимизации сложных технологических процессов.—РТМ, НИИТЭХИМ, 1964, вып. 2.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется эволюционным планированием'

2. Как составить план цикла эволюционного планирования?

3. Что такое смещение среднего и что оно характеризует?

4. В чем особенность вычисления оценки ошибки воспроизводимости'

5. В чем особенность вычисления интервальных оценок коэффициентов рег­рессии и смещения среднего?

6. Как располагаются результаты расчета на рабочем бланке^'

7. Как располагаются результаты эксперимента и расчета в информационной таблице'

8. Какие решения возможны по окончании цикла/