Дробный факторный эксперимент.

Во многих практических задачах идентификации влияние взаимодействий (произведений факторов) второго и высших порядков отсутствует или пренебрежимо мало. Кроме того, на первых •этапах исследования часто нужно получить в первом приближении лишь линейную аппроксимацию изучаемого уравнения связи при минимальном количестве опытов. Поэтому неэффективно использовать ПФЭ для оценивания коэффициентов лишь при линейных членах и некоторых парных произведениях из-за реализации большого числа вариантов варьирования (2ⁿ), в особенности при большом числе факторов n. При линейном росте числа независимых факторов число вариантов варьирования для ПФЭ растет по показательному закону; в результате чего на проверку гипотезы Об, адекватности остается излишне много степеней свободы.

Дробным факторным экспериментом (ДФЭ) называется эксперимент, реализующий часть (дробную реплику) полного факторного эксперимента. ДФЭ' позволяет получить, например, линейное приближение искомой функциональной зависимости в некоторой небольшой окрестности точки базового режима при минимуме опытов.

2.1 Планирование эксперимента. Для решения трехфакторной (п=3) задачи регрессии в линейном приближении можно ограничиться четырьмя вариантами варьирования, если в планировании ПФЭ типа 2² произведение z₁z₂ приравнять третьему независимому фактору z₃. Такое планирование, представленное матрицей (табл. 3.3), позволяет найти свободный член b_o и три оценки коэффициентов регрессии при линейных членах b₁,b₂,b₃ (из четырех опытов нельзя получить более четырех оценок коэффициентов регрессии).

Таблица 3.3

G	zo	z1	z2	z3	z1z2	z1z3	z2z3	z1z2z3
	+1 +1 +1 +1	-1 +1 -1 +1	-1 -1 +1 +1	+1 -1 -1 +1	+1 -1 -1 +1	-1 -1 +1 +1	-1 +1 -1 +1	+1 +1 +1 +1

Применение ДФЭ всегда связано со смешиванием, т. е. с совместным оцениванием нескольких теоретических коэффициентов математической модели. В рассматриваемом случае, если коэффициенты регрессии b_il при парных произведениях отличны от нуля, каждый из найденных коэффициентов b_i служит оценкой двух теоретических коэффициентов регрессии:

 

b_o®b_o+b₁₂₃; b₁®b₁+b₂₃; b₂®b₂+b₁₃; b₃=b₃+b₁₂

 

Действительно, указанные теоретические коэффициенты в таком планировании не могут быть оценены раздельно, поскольку столбцы МП для линейных членов и парных произведений совпадают (полностью коррелированы). Рассмотренный план ДФЭ представляет половину плана ПФЭ типа 2³ и называется полурепликой от ПФЭ типа 2³ или планированием типа N ==2^3-1 (см. табл. 3.3).

Для правильного планирования ДФЭ необходимо использовать все полученные ранее сведения теоретического и интуитивного характера об объекте и выделить те факторы и произведения факторов, влияние которых на отклик существенно. При этом смешивание нужно производить так, чтобы линейные коэффициенты b_o, b₁, ..., b_n были смешаны с коэффициентами при взаимодействиях самого высокого порядка (так как обычно они в модели отсутствуют), или при тех взаимодействиях, о которых априори известно, что они не оказывают влияния на отклик. Следовательно, недопустимо произвольное разбиение плана ПФЭ типа 2³ на две части для выделения полуреплики типа 2^3-1.

При большом числе п факторов для получения линейного приближения можно построить дробные реплики высокой степени дробности. Так, при п =7 можно составить дробную реплику на основе ПФЭ типа 2³, приравняв четыре из семи факторов к взаимодействиям трех других факторов: парным и тройному. Будем обозначать тип дробней реплики записью 2^n-p, если р факторов приравнены к произведениям остальных n—р факторов.

План ДФЭ можно построить, приравнивая факторы различным взаимодействиям (парным, тройным и т. д.), разумеется, при этом меняется система совместных оценок теоретических коэффициентов. Для получения системы совместных оценок и анализа разрешающей способности дробных реплик удобно пользоваться понятиями генерирующего и определяющего соотношений.

Генерирующее соотношение служит для построения дробной реплики. Так, в рассмотренном планировании мы задавали полуреплику плана ПФЭ типа 2³ с помощью генерирующего соотношения z₃=z₁z₂.

Определяющим соотношением называется соотношение, задающее элементы первого столбца матрицы планирования для фиктивной переменной (все они всегда равны 1). Выражение определяющего соотношения в рассматриваемом случае получается умножением левой и правой частей приведенного генерирующего соотношения на z₃, т. е. 1=z₁z₂z₃, так как всегда =1.

Знание определяющего соотношения позволяет найти, всю систему совместных оценок без изучения матрицы планирования ДФЭ. Соотношения, задающие эти оценки, можно найти, последовательно перемножив независимые факторы на определяющее соотношение:

z_o=z₁z₂z₃; z₁=z₂z₃; z₂=z₁z₂; z₃=z₁z₂;

отсюда легко находятся; смешиваемые теоретические коэффициенты регрессии и их оценки:

b_o®b_o+b₁₂₃; b₁®b₁+b₂₃; b₂®b₂+b₁₃; b₃®b₃+b₁₂

Если априори „можно принять, что коэффициенты при всех парных и тройном взаимодействии равны нулю, то реализация этой полуреплики позволит получить раздельные оценки для всех четырех линейных коэффициентов регрессии. Разрешающая способность полуреплик определяется их генерирующими соотношениями. Разрешающая способность тем выше, чем более высок порядок взаимодействий, с коэффициентами которых смешаны линейные коэффициенты. Она увеличивается для главных полуреплик с ростом числа независимых факторов.

2.2 Проведение эксперимента на объекте исследования. Реализация плана ДФЭ ничем не отличается от реализации плана ПФЭ.

2.3 Проверка воспроизводимости эксперимента. Проверку однородности оценок дисперсии отклика в различных точках факторного пространства проводят в полном соответствии с методикой, изложенной для ПФЭ, различие состоит лишь в числе точек плана.

2.4 Получение математической модели объекта. Процедура определения оценок коэффициентов регрессии и проверки их значимости полностью совпадает с процедурой, применяемой при исследовании объекта методом ПФЭ.

Проверка адекватности математического описания. Адекватность математического описания функции отклика проверяют теми же методами, что и для ПФЭ.