Зависимость погрешностей от значения измеряемой величины.

В зависимости от вида функции преобразования прибора (преобразователя) его общая погрешность и ее составляющие различным образом зависят от значения измеряемой величины. Рассмотрим эти зависимости при разных функциях преобразования .

I. Зависимость Δ(X) и σ(X) при линейной функции Y = SX (Аддитивная и мультипликативная погрешности. Порог чувствительности)

Как уже отмечалось, функция преобразования вида присуща большинству измерительных приборов. При этом результирующая погрешность на выходе прибора (в единицах выходной величины ) может возникать:

– во-первых, за счет аддитивного наложения на входную измеряемую величину некоторой малой неконтролируемой величины (например, шумы или наводки);

– во-вторых, из-за наличия аналогичной величины на выходе прибора — например, в случае дискретного характера (квантования) выходного сигнала (входной сигнал обычно имеет неправильный (аналоговый) характер);

– в третьих, за счет малых неконтролируемых изменений (нестабильности) чувствительности

Причем , , . С учетом этих факторов значение на выходе, очевидно, будет отличаться от теоретического значения на величину :

(1)

(В (1) слагаемым , имеющим более высокий порядок малости, пренебрегли). Из (1) следует, что результат измерения величины может быть представлен в виде

(2)

Здесь — абсолютная погрешность измерения, выраженная, как и полагается, в единицах , и состоящая из двух слагаемых: первое из них называется аддитивной погрешностью(от add – прибавлять) поскольку она, как видим, суммируется с и не зависит от него. Второе слагаемое называется мультипликативной погрешностью (от multiply – умножать), так как оно определяется умножением измеряемого значения на относительную погрешность чувствительности

(3)

Таким образом, в случае линейной функции преобразования абсолютная погрешность измерения

(4)

 
 

в общем случае состоит из суммы аддитивной и мультипликативной погрешностей. Первая из них не зависит от измеряемой величины, а вторая — пропорциональна ей (рис 1а). При этом важно отметить, что так ведут себя в зависимости от абсолютные (размерные) значения этих погрешностей.

Поскольку с увеличением возрастает общая погрешность , может показаться, что с ростом измеряемой величины точность измерения будет уменьшаться. Однако, согласно (4) относительная погрешность , характеризующая, как известно, точность измерения, равна

, (5)

Из (5) следует два важных вывода. Во-первых, при представлении погрешности в относительном (безразмерном) виде , ее мультипликативная составляющая становится равной погрешности чувствительности , которая не зависит от значения измеряемой величины , а аддитивная составляющая оказывается обратно пропорциональной (рис. 1б).

Во-вторых, при линейной функции преобразования точность измерения повышается с увеличением измеряемой величины. Отсюда практическая рекомендация: при линейной функции преобразования в целях повышения точности измерения следует выбирать диапазон измерений так, чтобы предполагаемое значение измеряемой величины находилось как можно ближе к верхнему приделу шкалы прибора. Из (4), (5) и рис. 1 видно, что при больших значениях измеряемой возрастает вклад мультипликативной составляющей в общую погрешность, и, наоборот, при малых основную часть погрешности составляет аддитивная погрешность.

На практике погрешности измерения конкретным прибором обычно бывают заданы лишь в виде некоторых допустимых (предельных) значений или со знаком .

Например, в техническом описании серийно выпускаемого цифрового частотомера (с линейной функцией преобразования) может быть указано, что основная погрешность измерения частоты не превышает значения, которое может быть задано либо в абсолютных значениях:

, (6)

где первое слагаемое — аддитивная, а вторая — мультипликативная погрешность, либо в относительных значениях:

, (7)

где вначале указана погрешность чувствительности (мультипликативная), а за ней относительная аддитивная составляющая. Разумеется, в конечном экземпляре такого частотомера или при конкретном измерении погрешность может быть меньше указанного предела.

С учетом такой неопределенности задания погрешности выходную величину следует считать связанной с входной величиной соотношением , где увеличивается с ростом из-за мультипликативной составляющей. При этом вместо номинальной зависимости в виде прямой линии получается расширяющаяся полоса шириной (рис. 2), характеризующая зону неопределенности измерений, т. е. неопределенности наших знаний о действительном значении .

Поскольку минимальная ширина этой полосы равна , ясно, что значение измеряемой величины прибор не сможет достоверно отличить от нуля. Таким образом, минимально различимым значением, на которое достоверно реагирует прибор, является . Это значение, определяемое аддитивной погрешностью, называется порог чувствительности данного прибора.


II. Зависимость погрешности от измеряемой величины при нелинейной функции преобразования вида Y = a / (b + X)


Нетрудно выяснить, что преобразование такого вида выполняется в простейшем омметре со стрелочным указателем — микроамперметром (рис 3а). Измеряемой величиной является , а выходной — ток :

(8)

Из (8) видно, что, во-первых, шкала такого прибора нелинейна, т. е. неравномерна. Во-вторых, входная и выходная величины находятся в обратной зависимости — большему значению соответствует меньший ток (рис 3б). Начало шкалы прибора, соответствующее должно соответствовать максимальному току указателя , а конец шкалы при должен соответствовать нулю тока. Обычно перед измерением проверяют правильность градуировки шкалы: при разомкнутом входе () убеждаются, что стрелка находится на крайнем левом делении, а при короткозамкнутом входе (и ) — на крайнем правом. При необходимости последнее условие выполняют изменяя .

Считая, что погрешность измерения определяется погрешностью измерения тока , продифференцируем по :

(9)

Отсюда

(10)

Знак минус в (10) отражает обратную зависимость и . Но поскольку погрешность обычно указывается с двойным знаком , этот минус в дальнейшем не будем учитывать.

Выразим относительную погрешность измерения:

(11)

Из (11) видно, что при стремящемся к 0 и к . Это значит, что есть , при котором будет минимальна. Известно, что для нахождения координат минимума зависимости необходимо приравнять нулю производную по :

Откуда следует, что при (рис 3в). Подставив это значение в (11), найдем

(12)

где есть приведенная погрешность микроамперметра, характеризующая его класс точности.

Сам по себе стрелочный указатель имеет линейную функцию преобразования (— угол отклонения стрелки) и, следовательно, равномерную шкалу по току . Отсюда следует, что если , а значит минимальна и , то стрелка будет находиться посредине шкалы (рис 3б).

Итак, во-первых, при рассмотренном виде нелинейного преобразования минимум относительной погрешности находится в середине шкалы. Значит надо соответствующим образом выбирать диапазон шкалы . Во-вторых, из (12) следует, что этот минимум в 4 раза больше приведенной (минимальной) погрешности указателя (см (12)).