С учетом (12) внутренняя энергия кристаллического твердого тела равна
Внутренняя энергия и теплоемкость кристалла. Закон Дебая
, (13)
где 
– энергия нулевых колебаний атомов в кристалле.
Возьмем один моль вещества, тогда N = NA , и производная от U по T даст молярную теплоемкость кристалла:
. (14)
Величину θ, определяемую условием 
, называют характеристической температурой Дебая. По определению
. (15)
Температура Дебая указывает для каждого вещества ту область, где становится существенным квантование энергии колебаний.
Введем также переменную
. Тогда выражение для теплоемкости примет вид:
, (16)
где 
.
Запишем в этих обозначениях выражение для внутренней энергии кристалла
. (17)
1) При Т << θ верхний предел интеграла будет очень большим, так что его можно приближенно положить равным бесконечности ( xmax ≈ ∞ ). Тогда интеграл в формуле (17) будет представлять собой некоторое число, а именно
.
Внутренняя энергия U в этом случае будет равна:
,
а молярная теплоемкость окажется пропорциональной кубу температуры:
. (18)
Эта приближенная зависимость известна как закон Дебая. При достаточно низких температурах этот закон выполняется во многих случаях очень хорошо.
2) При T >> θ , т.е. при 
, формулу (13) можно упростить, положив
.
Тогда для внутренней энергии получается выражение:
,
а для молярной теплоемкости значение
, (19)
фигурирующее в законе Дюлонга и Пти.
График зависимости теплоемкости кристалла от температуры показан на рис. 1.
Формула Дебая (18) хорошо передает ход теплоемкости с температурой для тел с простыми кристаллическими решетками, т.е. для химических элементов и некоторых простых соединений.
[1] При рассмотрении симметрии решетки отвлекаются от конечных размеров кристалла и считают решетку бесконечной.
[2] Пластической называется деформация, сохраняющаяся после того, как снимается напряжение, вызвавшее деформацию.
[3] В случае молекулярных кристаллов дело обстоит сложнее. Молекулы наряду с поступательными колебаниями совершают также крутильные колебания. Кроме того, происходят колебания атомов внутри