Многократное рассеяние.

Пример

Рис. Энергетический спектр ионов гелия с энергией 2 МэВ обратно рассеянных от кремниевой мишени

На Рис. приведен пример энергетического спектра обратного рассеянных ионов. Стрелками на Рис. отмечены положения пиков тех элементов, которые содержатся на поверхности исследуемого образца (пики справа, т.к. атомные веса этих элементов больше, чем кремния). Величина сигнала от i-го элемента примеси в мишени, или площадь под пиком, пропорциональна количеству этого элемента в мишени и, согласно формуле Резерфорда, квадрату его заряда.

Проходя через достаточно толстый слой вещества, частица претерпевает много столкновений с ядрами. Этот процесс упругих кулоновских столкновений носит название многократного рассеяния. В каждом элементарном акте такого процесса частица рассеивается преимущественно на малый угол. В результате многократного рассеяния параллельный пучок частиц приобретает некоторый угловой разброс, сохраняя азимутальную симметрию.

При прохождении через вещество частицы претерпевают многократное рассеяние. Если заряженная частица движется в плотной среде, то, проходя мимо различных ядер этой среды в пределах b < bmax, она будет рассеиваться каждым из них на некоторый угол θ, среднее значение которого тем больше, чем меньше масса движущейся частицы и чем меньше ее энергия. Этот процесс упругих рассеяний

частицы в кулоновском поле ядер, мимо которых она движется, называется многократным кулоновским рассеянием.

Пусть в результате N столкновений на пути x частица испытает

последовательную серию отклонений θ1,θ2,…θN. Каждый из этих углов

определяется конкретными условиями данного столкновения

(например, значением параметра удара bi), так что вообще говоря

θ1≠θ2≠ θ3≠…≠θN. Каждое из этих отклонений может быть направлено в

любую сторону относительно предшествующего. Т.к. они

статистически независимы и равновероятны по разным направлениям,

то суммарное отклонение будет равно нулю

Поэтому результирующий угол рассеяния не может служить мерой многократного рассеяния. Однако из-за того, что каждое рассеяние дает угол отклонения θi ≠ 0, то для количественного описания вводится среднеквадратичный угол многократного

Рассеяния

, так как

Ранее было получено соотношение между угловым отклонением

θ и прицельным параметром b:

. Так как для малых углов tgθ ≈ θ, то можно записать:

Число столкновений с параметром удара b на пути x , приводящих к отклонению на угол θ(b), равно N(b)db=2πnxbdb, а полное число столкновений на пути x будет

Среднее значение на пути x в результате N столкновений

можно найти следующим образом:

, и

Эта формула была бы совершенно точной, если бы на расстояниях, больших bmax , заряд ядра был полностью экранирован электронами атома, и рассеяния не было совсем, а для всех расстояний, меньших bmax и больших bmin , экранирование вообще бы отсутствовало. Но такой определенной границы в действительности не существует, так как с увеличением расстояния от ядра экранирование возрастает постепенно. Однако логарифмический множитель слабо зависит от величин bmax и b min , и поэтому можно положить, что bmin≈ R ядра, а bmax≈ a - радиусу атома. По порядку величины логарифмический член равен 10.

Таким образом, если скорость частицы на пути x не меняется, то

среднеквадратичный угол многократного рассеяния

В классическом случае произведение pV равно удвоенной кинетической энергии частицы. В предельно релятивистском случае Vp ≈ с·p и почти равно кинетической энергии, поэтому при грубой оценке можно считать, что

Еще раз рассмотрим формулу для угла многократного рассеяния и подставим значения для bmin и bmax:

Максимальный прицельный параметр можно оценить обычным образом bmax~aэ, где aэ – параметр экранирования. Минимальный прицельный параметр bmin можно оценить, исходя из следующего критерия: на всей толщине слоя в среднем происходит только один акт рассеяния с прицельным параметром b < bmin, т.е. N(b < bmin) = 1. Тогда

Таким образом, угол многократного рассеяния

• пропорционален заряду рассеивающейся частицы;

• пропорционален заряду рассеивающего ядра;

• обратно пропорционален энергии частицы;

• пропорционален квадратному корню из атомной плотности;

• пропорционален квадратному корню из толщины

(В нерелятивистском случае pu = 2E, а в ультрарелятивистском pu ≈ E)

Многократное рассеяние играет большую роль при экспериментальном изучении частиц большой энергии. Измерение угла многократного рассеяния в ядерной эмульсии является эффективным методом определения энергии быстрых частиц. В других случаях как, например, при работе с вершинными детекторами

на ускорителе, необходимо учитывать многократное рассеяние, поскольку оно искажает углы вылета вторичных частиц и затрудняет кинематический анализ явления.

Многократное рассеяние было рассмотрено в рамках приближенной модели, которая тем не менее, правильно отражает основные зависимости угла многократного рассеяния от параметров частицы и среды. Более строгое рассмотрение должно учитывать эффекты экранирования (это делается, например, в рамках теории Мольер), потери энергии при достаточно толстых слоях, квантовые эффекты.

Измерение импульсов частиц методом многократного рассеяния в эмульсионных

детекторах

Определение импульса частиц методом многократного рассеяния.

Заряженная частица, проходя через слой вещества конечной толщины t, непрерывно изменяет направление своего движения, причем чаще всего изменения в направлении движения частицы очень малы. Эти отклонения возникают в результате кулоновского рассеяния атомными ядрами, расположенными вблизи траектории частицы.

Рассмотрение многократного рассеяния проводится в рамках теории Мольера, учитывающей эффекты экранирования, потери энергии при достаточно толстых слоях, квантовые эффекты. Когда поток частиц с импульсами p и скоростями bс пересекает вещество толщиной х ( р.е.) , то величина угла многократного рассеяния этих частиц распределена по Гауссу со средним значением :

и стандартным отклонением

,(A)

где - начальный импульс частиц в МэВ/с , - скорость частиц, х – расстояние, пройденное частицами в р.е , - радиационная единица длины для данного вещества. Точность данной аппроксимации, полученной на основе Мольеровской теории рассеяния, составляет 11% (или даже меньше) для веществ с 0.001 < х/Хо < 100 и одиночных заряженных частиц с b » 1.

Наша задача состоит в том, чтобы рассмотреть трек одиночной частицы и оценить степень ее многократного рассеяния при пересечении некоторого количества слоев вещества.

Пусть в результате N столкновений на пути x частица испытает

последовательную серию отклонений θ1,θ2,…θN. Каждый из этих углов

определяется конкретными условиями данного столкновения, так что вообще говоря θ1≠θ2≠ θ3≠…≠θN. Каждое из этих отклонений может быть направлено в

любую сторону относительно предыдущего. Т.к. они статистически независимы и равновероятны по разным направлениям, то суммарное отклонение будет равно нулю

Рассеяния

, так как

Для определения среднего углового отклонения частицы на определенной толще вещества применяются два метода, основанных на измерении отклонений проекции следа на плоскость эмульсии. В первом из них, который получил название углового метода, определяется направление касательной к траектории в ряде находящихся на ней равноудаленных точек и вычисляются средние угловые отклонения, представляющие разности между последовательными отсчетами (Голдшмидт, Клермон и др.).

Во втором, так называемом координатном методе измеряются координаты последовательных точек на траектории, отстоящих друг от друга на расстояние t. Подобные измерения позволяют найти угловые отклонения между последовательными хордами путем вычисления вторых разностей между отсчетами (Фаулер).

В эксперименте OPERA можно рассматривать многократное рассеяние частиц

а) только в эмульсионных пластинах (выбираются треки фоновых частиц, которые движутся почти параллельно плоскости эмульсии) или б) при прохождении через слоистую структуру эмульсионного кирпича – чередующиеся слои свинца и эмульсии.

Измерение импульса частицы с помощью вычисления угла многократного рассеяния в эмульсионном слое координатным методом.

Схема расчета иллюстрируется с помощью Рис. .

Рис. . Схема для расчета разности углов. Зеленая линия – трек частицы. Угол a1 задает направление движения частицы на первом участке длины t, угол a2 задает направление движения частицы на втором участке длины t. Разность углов q1 = a2 - a1 (изменение направления движения частицы )

Измерение координат последовательных точек на траектории, отстоящих друг от друга на расстояние t, позволяют найти угловые отклонения между последовательными хордами, путем вычисления вторых разностей между отсчетами.

, ,

С учетом и малости углов и

угол между соседними участками траектории частицы :

По всей траектории частицы, для того, чтобы воспользоваться формулой (А), нужно вычислить дисперсию disp распределения величины : .

Для и после подстановки в (А) получим

вычисляется на базе .

Рис. 7. Участок трека частицы, проходящий приблизительно параллельно эмульсионной пластине. На изображение нанесены красные метки, расставленные с шагом по оси х через каждые 100 пикселей – 30.47мкм.