Решение уравнения Лапласа в сферических координатах. Уравнение Лежандра.

Уравнение Лапласа в координатах записывается так:

. (1)

Следуя методу Фурье, ищем решение этого уравнения в виде произведения:

. (2)

Подставляя (2) в (1), получаем:

Умножим это равенство на , приводим его к виду:

. (3)

Приравнивая обе части равенства (3) постоянной l, приходим к двум уравнениям:

, (4)

. (5)

Как видим, уравнение (5) есть уравнение в частных производных. Поэтому вновь применим метод Фурье.

Представим в виде произведения:

(6)

и подставим это выражение в (5). Тогда

Умножим последнее равенство на и разделив переменные, приходим к равенству:

Приравнивая обе части постоянной , получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

, (7)

. (8)

Решение уравнения (7) нам удобнее представить в показательной форме:

. (9)

Так как обычно функция удовлетворяет условию цикличности

то можно сделать вывод, что значение v не может быть произвольным, а обязательно является целочисленным . Следовательно, функция принимает форму:

, (10)

а уравнение (8) соответственно запишется так:

. (11)

Уравнение (11) называют обобщенным уравнением Лежандра. Если ввести новую независимую переменную (при этом ) и обозначить , то обобщенное уравнение Лежандра принимает обычный вид:

. (12)

При это уравнение имеет более простую форму уравнения Лежандра:

. (13)

Таким образом, задача свелась к нахождению решений уравнения Лежандра (11) и уравнения Эйлера (4). Обозначая их интегралы соответственно через и , представим искомую функцию в форме следующего произведения:

. (14)

Решение уравнения Лежандра. Только при выполнении равенства можно получит конечные решения уравнения Лежандра. Таким образом, удовлетворяющее условию уравнение Лежандра

имеет ограниченное решение, которое представляет собой многочлен l-й степени. Ограниченные решения уравнения Лежандра могут существовать, только если . При этом оказывается, что они являются полиномами Лежандра.

l=0,
l=1,
l=2,
l=3,
…	…	…
l		(формула Родрига)

Конечными решениями обобщенного уравнения Лежандра (12) являются так называемые присоединенные полиномы Лежандра , определяемые следующей формулой Родриго:

При имеет место тождество . Поэтому каждому значению l соответствует l+1 присоединенных полиномов Лежандра

где . Графики нескольких полиномов Лежандра изображены на рисунке 9.

P₂

P₃

-1 1 x

P₁

-1

Рис. 9

Вернемся к исходной задаче. Поскольку уравнение (12) получилось из (11) заменой независимой переменной , то решение уравнения (11) имеет вид

Осталось найти решение уравнения Эйлера (4). Так как нас интересует только конечные решения для всех внутренних точек шара ( в том числе и центра, где ), то .

Следовательно, решение уравнения (1) имеет вид:

коэффициенты подбираются из граничных условий.