Взаимно перпендикулярные плоскости

 

Частный случаем пересечения плоскостей являются взаимно перпендикулярные плоскости.

Известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Через точку А можно провести множество плоскостей, перпендикулярных данной плоскости a(h,f). Эти плоскости образуют в пространстве пучок плоскостей, осью которого является перпендикуляр опущенный из точки А на плоскость a.Для того, чтобы через точку А провести плоскость, перпендикулярную плоскости a(h,f),необходимо из точки А провести прямую n, перпендикулярную плоскости a(h,f), (горизонтальная проекция n₁ перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h₁, фронтальная проекция n₂ перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f₂). Любая плоскость, проходящая через прямую n будет перпендикулярна плоскости a(h,f), поэтому для задания плоскости через точку А проводим произвольную прямую m. Плоскость заданная двумя пересекающимися прямыми (m,n),будет перпендикулярна плоскости a(h,f)(рис. 50).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 50. Взаимно перпендикулярные плоскости

3.5. Отображение относительного положения прямой и плоскости

Известны три варианта взаимного расположения прямой и плоскости:

1. Прямая принадлежит плоскости.

2. Прямая параллельна плоскости.

3. Прямая пересекает плоскость.

Очевидно, что если прямая не имеет двух общих точек с плоскостью, то она или параллельна плоскости, или пересекает ее.

Большое значение для задач начертательной геометрии имеет частный случай пересечения прямой и плоскости, когда прямая перпендикулярна плоскости.

3.5.1. Параллельность прямой и плоскости

При решении вопроса о параллельности прямой линии и плоскости необходимо опираться на известное положение стереометрии: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости и не принадлежит этой плоскости.

Пусть дана плоскость общего положения ABC и прямая общего положения а. Требуется оценить их взаимное положение (рис. 51).

Для этого через прямую а проведем вспомогательную секущую плоскость g - в данном случае горизонтально проецирующая плоскость. Найдем линию пересечения плоскостейg и АВС - прямую п (DF).Проекция прямой п на горизонтальную плоскость проекций совпадает с проекцией а₁ и со следом плоскости g. Проекция прямой п₂ параллельна а₂, п₃ параллельна а₃, следовательно, прямая а параллельна плоскости AВС.

 

а) модель	б) эпюр
Рисунок 51. Прямая параллельная плоскости

3.5.2. Пересечение прямой с плоскостью

Нахождение точки пересечения прямой линии и плоскости – одна из основных задач начертательной геометрии.

Пусть дана плоскость AВС и прямая а. Требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью и определить видимость прямой по отношению к плоскости.

Алгоритм решения задачи (рис. 52) следующий:

1. Через горизонтальную проекцию прямой а₁ проведем вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость g.

2.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 52. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости

3. Находим линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной. Горизонтальный след плоскости g₁ пересекает проекцию плоскости A₁В₁С₁ в точках D₁ и F₁, которые определяют положение горизонтальной проекции п₁- линии пересечения плоскостей g и AВС. Для нахождения фронтальной и профильной проекции п спроецируем точки D и F на фронтальную и профильную плоскости проекций.

4. Определяем точку пересечения прямых а и п. На фронтальной и профильной проекциях линия пересечения плоскостей п пересекает проекции а в точке К, которая и является проекцией точки пересечения прямой а с плоскостью AВС, по линии связи находим горизонтальную проекцию К₁.

5. Методом конкурирующих точек определяем видимость прямой а по отношению к плоскости AВС.

3.5.3. Перпендикулярность прямой и плоскости

Большое значение для задач начертательной геометрии имеет частный случай пересечения прямой и плоскости, когда прямая перпендикулярна плоскости.

Прямая считается перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим ей. В качестве таких прямых удобно принимать горизонталь и фронталь. Если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция – фронтальной проекции фронтали плоскости.

Верно и обратное: если проекции прямой перпендикулярны одноименным проекциям соответствующих главных линий плоскости (горизонтали и фронтали), то такая прямая перпендикулярна плоскости.

Рассмотрим решение задачи на построение перпендикуляра к плоскости из точки А(рис. 53).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 53. Прямая, перпендикулярная плоскости

Пусть дана плоскость ВСD и точка А. Требуетсяпостроить прямую линию n проходящую через точку А и перпендикулярную плоскости ВСD.

В плоскости ВСD построим фронталь f и горизонталь h. В горизонтальной плоскости проекций проведем через точку А₁ прямую n₁ перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h₁, а на фронтальной плоскости проекций через точку А₂ прямую n₂ перпендикулярно фронтальной проекции фронтали f₂, согласно, теореме о перпендикуляре к плоскости, полученная прямая n будет перпендикулярна плоскости ВСD.