Следствие из 4.

Если матрица А ≥0 и сумма элементов каждой строки (столбца) не больше единицы и хотя бы для одной строки (столбца) строго меньше единицы, то матрица А продуктивна.

Данный критерий является достаточным, т.е. если он не выполняется, то надо использовать другие критерии и только потом делать вывод о продуктивности матрицы А.

Доказательство (для строки). используя соотношение (1), можно записать: из соотношения (2) следует, что: откуда следует, что

Экономический смысл последнего критерия: сумма элементов любого столбца q ≤1. В стоимостной модели баланса q<1, это означает, что суммарный вклад всех отраслей в выпуск 1руб. продукции отрасли j меньше 1, т.е., что отрасль j рентабельна.

Примечание. Если продуктивна матрица A≥ 0, то продуктивна и матрица A^T.

Примеры:

Пример 1. Дана матрица прямых затрат. Является ли она продуктивной?

сумма элементов каждого столбца строго меньше единицы. Следовательно, матрица A продуктивна.Отметим, что данный критерий является достаточным. При его нарушении возможна также продуктивность матрицы, которую можно установить, например, по второму критерию.

Пример 2. Исследовать на продуктивность матрицу .

Критерий 3 не выполняется, следовательно, надо проверить существует ли для матрицы (Е – А) неотрицательная обратная матрица (это Н и Д условие).

В данном случае . Обратная матрица для матрицы вычисляется Тогда - эта матрица неотрицательная, Следовательно, A – продуктивна.