Где E - единичная матрица, соответствующего порядка.

ТЕМА 1. Лекция 2, практика 2.

13.02.2012

Уравнение Х=АХ+У (4) линейного межотраслевого баланса позволяет решить следующие задачи:

- зная валовую продукцию отраслей системы вычислить конечную продукцию отраслей. У=Х – АХ или У=ЕХ – АХ Þ У=(Е – А)Х;

- зная конечную продукцию отраслей и коэффициенты прямых затрат вычислить валовую продукцию отраслей Х = (Е – А)^-1×У

 

Матрицу В = (E–A)^-1 называют матрицей полных затрат, а ее элементыb_ij –коэффициентами полных затрат.

 

Матрицу В – А =называют матрицей косвенных затрат:, а ее элементы – коэффициентами косвенных затрат.

 

Экономический смысл b_ij: элемент b_ij показывает, какое количество продукции отрасли i нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат обеспечить выпуск единицы конечного продукта отрасли j. Отсюда валовые выпуски Х_i в виде функций планируемых значений y_j конечных продуктов отраслей:.(5)

Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных затрат

Для всех элементов матриц А и В выполняется неравенство b_ij ≥ a_ij, , так как коэффициенты полных затрат b_ij не только непосредственные поставки продукции отрасли i для отрасли j, но и поставки продукции отрасли I другим отраслям.

Кроме того, для диагональных элементов матрицы Bследует: b_ii ≥ 1,

 

Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат проще всего проследить на примере: пусть единицей выпуска хлебопекарной промышленности является хлеб:

Рисунок 1 - Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат

Полные затраты электроэнергии складываются из прямых затрат и косвенных затрат всех уровней. При этом выполняется равенство, где А – матрица коэффициентов прямых затрат, А² – косвенные затраты первого порядка, А³ – косвенные затраты второго порядка,

 

Важнейшие виды балансовых моделей:

- межотраслевые балансы;

- частные материальные, трудовые и финансовые балансы;

- матричные промфинпланы предприятий и фирм.

 

Единицы измерения всех величин в балансовых моделях могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки, киловатт-часы, затраты труда и т.п.) или стоимостными.

В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевой балансы.

 

Экономический смысл a_ij (в случае стоимостного баланса): Из соотношения (2) x_ij=a_ij ·Х_j видно, что a_ij совпадает со значением x_ij при Х_j = 1 (1 рубль). Т.е., aij это стоимость продукции отрасли i, вложенной в 1 руб. продукции отрасли j

 

Матрица А прямых затрат в балансовых моделях является основой информационного обеспечения, она отражает продуктивность экономической системы.Поэтому до начала планирования следует выяснить является ли матрица А продуктивной.

 

Для того, чтобы матрица А коэффициентов прямых материальных затрат была продуктивной Необходимо и Достаточно:

1) Существование неотрицательного вектора валовой продукции Х≥0 и неотрицательного вектора конечной продукции Y≥0, удовлетворяющих балансовой модели.

2) Наибольшее по модулю собственное значение λ матрицы А строго меньше единицы;

3) Существование для матрицы (Е – А) неотрицательной обратной матрицы (Е – А)^-1≥0.

4) Матричный ряд сходится, причем его сумма равна матрице В.

Где А – матрица коэффициентов прямых затрат, А² – косвенные затраты первого порядка

А³ – косвенные затраты второго порядка и …

Доказательство: B = E + A + A² + A³ + ... (7)Умножим обе части на (E - A): B(E - A) = (E + A + A² + A³ + ...)(E - A), B(E - A) = E + A + A² + A³ + ..- A - A² - A³ - ...,

B(E - A) = E Þ B = E / (E - A), Þ B = (E - A)^-1. Доказано.