Лекция 1. Предмет эконометрики. Особенности эконометрического метода. Этапы эконометрического исследования и построения эконометрической модели.

Лекция 8. Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками. Предпосылки метода наименьших квадратов (МНК). Гетероскедастичность, методы смягчения проблемы гетероскедастичности. Автокорреляция, методы устранения автокорреляции. Тест ранговой корреляции Спирмена, тест Парка, тест Голдферда-Квандта. Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК).

Цель лекции: познакомить студентов с проблемами возникновения гетероскедастичности и автокорреляции остатков, с тестами ранговой корреляции и необходимостью применения ОМНК.

Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками.

Предпосылки метода наименьших квадратов.

При оценке параметров уравнения регрессии применяется МНК. При этом делаются определенные предпосылки относительно случайной составляющей ε.

В модели y=a+b₁x₁+b₂x₂+…+b_nx_n+ε случайная составляющая ε представляет ненаблюдаемую величину. После оценки параметров модели делают оценку остатков ε_i. При изменении спецификации модели, добавление в нее новых наблюдений выборочные оценки остатков ε_i могут меняться.

С помощью t-критерия, F-критерия и Z-преобразования делается формальная проверка статистической достоверности коэффициентов регрессии и корреляции в предложении, что остатки ε_i – независимые случайные величины и их среднее значение равно 0, они имеют постоянную (одинаковую) дисперсию и подчиняются нормальному закону распределения.

После построения уравнения регрессии проводится оценка остатков. Это связано с тем, что оценки параметров регрессии должны отвечать условиям несмещенности (математическое ожидание остатков равно нулю), состоятельности (увеличение точности с увеличением объема выборки), эффективности (с увеличением объема выборки дисперсия →0). Условия, необходимые для получения несмещенных, эффективных, состоятельных оценок, представляют собой предпосылки МНК.

Исследования остатков ε_i предполагают проверку наличия следующих пяти предпосылок МНК:

1. Случайный характер остатков;

2. нулевая средняя величина остатков, не зависящая от x_i;

3. гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения ε_i одинакова для всех x;

4. отсутствие автокорреляции остатков. Значения остатков ε_i распределены независимо друг от друга;

5. остатки подчиняются нормальному распределению.

Гетероскедастичность, методы смягчения проблемы

гетероскедастичности.

Автокорреляция, методы устранения автокорреляции.

рис. 1

Для проверки случайного характера остатков ε_i от теоретических значений результативного признака

Если на графике получена горизонтальная полоса (рис. 1), то остатки представляют собой случайные величины и МНК оправдан, теоретические значения

хорошо аппроксимируют фактические значения y. Возможны следующие случаи: если ε_i зависит от

, то

рис. 2

остатки ε_i не случайны (рис. 2)

рис. 3

остатки не имеют постоянной дисперсии (рис. 3)

- остатки носят систематический характер (рис. 4)

рис. 4

В случае рис. 1 дисперсии независимы от значений переменной, выполняются условия гомоскедастичности.

В случаях рис. 2-4 наблюдаются изменения в соотношениях между значениями переменной x_i и квадратами отклонений – выполняются условия гетероскедастичности.

Графический анализ надежен в случае парной регрессии. При множественной регрессии графический анализ возможен для каждой из объясняющих переменных.

2. Вторая предпосылка МНК относительно средней величины остатков означает, что .Это выполнимо для линейных моделей, нелинейных относительно включаемых переменных. Для моделей, нелинейных по оцениваемым параметрам и приводимых к линейному виду логарифмированием, средняя ошибка равна нулю для логарифмов исходных данных. Так, для модели вида

Для оценки гетероскедастичности используются:

Тест ранговой корреляции Спирмена.

Предполагается, что дисперсия отклонения будет либо увеличиваться, либо уменьшаться с увеличением значений x. Значения x_i и ε_i ранжи (упорядочиваются по величинам). Затем определяется коэффициент ранговой корреляции:

где d_i – разность между рангами x_i и ε_i, n – число наблюдений.

Например, если x₂₀ является двадцать пятым по величине среди наблюдений, а ε₂₀ является тридцать вторым, то d_i=25-32=7.

Доказано, что если коэффициент корреляции r_x_,_e для генеральной совокупности равен нулю, то статистика имеет распределение Стьюдента с df=n-2. Если то отклоняем гипотезу об отсутствии гетероскедастичности, иначе гипотеза принимается.

Тест Парка

Парк предложил зависимость

1. Строится уравнение регрессии

2. Для каждого наблюдения определяются , где

3. проверяется статистическая значимость коэффициента β на основе t-статистики Если β статистически значим, есть гетероскедастичность в статистических данных.

Есть тест Глейзера (аналогичный).

Тест Голдфелда-Квандта:

Голдфелд и Квандт рассмотрели однофакторную линейную модель, для которой дисперсия остатков возрастает пропорционально квадрату фактора. Чтобы оценить нарушение гомоскедастичности, они предложили параметрический тест:

1. упорядочение n наблюдений по мере возрастания переменной x;

2. исключение из рассмотрения C центральных наблюдений, при этом где p – число оцениваемых параметров;

3. разделение совокупности из (n-c) наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора x) и определение по каждой из групп уравнений регрессий;

4. определение остаточной суммы КО для первой (S₁) и второй (S₂) групп и нахождение их отношения:

При выполнении Но о гомоскедастичности отношение R будет удовлетворять F-критерию с степенями свободы для каждой остаточной суммы Ко. Чем больше R, чем F_табл, тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.

Четвертая предпосылка МНК – отсутствие автокорреляции остатков, т.е. значения остатков ε_i распределены независимо друг от друга. Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих наблюдений. Коэффициент корреляции

где

ε_i – остатки текущих наблюдений;

ε_j – остатки предыдущих наблюдений, (j=i-1).

Если далеко от нуля, то остатки автокоррелированы. Отсутствие автокорреляции остатков обеспечивает состоятельность и эффективность оценок коэффициентов регрессии.

Предпосылка о нормальном распределении позволяет проводить проверку параметров регрессии с помощью t, F-критериев. Однако, оценки регрессии, найденные по МНК, имеют хорошие свойства даже при отсутствии нормального распределения остатков.

В общем виде применении МНК возможно, если число наблюдений n превышает число оцениваемых параметров m, т.е. сумма нормальных уравнений имеет решение только при n>m.

Матрица исследуемых факторов должна быть свободна от мультиколлинеарности. В множественной регрессии предполагается, что матрица невырожденная.

При несоблюдении предпосылок МНК надо корректировать модель, изменяя ее спецификацию, добавляя (исключая) некоторые факторы, преобразовывать исходные данные, чтобы получить оценки коэффициентов регрессии, удовлетворяющих несмещенности, состоятельности, эффективности.

Для этой цели служит обобщенный МНК.

Обобщенный метод наименьших квадратов.

При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибки следует традиционный МНК заменить обобщенным МНК.

Он применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, обладающие несмещенностью и имеющие меньше выборочные дисперсии. Используем обобщенный метод наименьших квадратов для корректировки гетероскедастичности.

Предполагаем, что , а дисперсия не остается неизменной для разных значений фактора и пропорциональна величине K_i, т.е.

где - дисперсия ошибки при конкретном i-том значении фактора;

- постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки о гомоскедастичности остатков;

- коэффициент пропорциональности, меняющийся с изменением величины фактора, что и обусловливает неоднородность дисперсии.

Предполагаем, что неизвестна, а по отношении к K выдвигаются определенные гипотезы, характеризующие структуру гетероскедастичности.

В общем виде для уравнения при модель примет вид:

В ней остатки гетероскедастичны. Предполагается отсутствие в них автокорреляции, поделив обе части на (дисперсия остатков будет постоянной, т.е. ), перейдем к временной регрессии на новых переменных с весами

Исходные данные для данного уравнения будут иметь вид:

Для оценки параметров такого уравнения приходим к взвешенному МНК, для которого надо минимизировать сумму Ко:

Тогда система нормальных уравнений:

тогда (для обыкновенного МНК ).

Для множественной регрессии пусть рассматривается модель вида:

т.к. , то модель примет вид

где ошибки гетероскедастичны.

Для получения уравнения с гомоскедастичными остатками, перейдем к взвешенным переменным:

это уравнение не содержит свободного члена.

Найдя переменные в новом преобразованном виде и применяя обычный МНК к ним, получим новую спецификацию модели:

Параметры такой модели зависят от концепции, принятой для коэффициента K_i. В эконометрических исследованиях часто выдвигается гипотеза о пропорциональности остатков значением фактора. Так, если в уравнении y=a+b₁x₁+b₂x₂+…+b_px_p+E, предположить, что

т.е. K=x₁ и

то обобщенный МНК предполагает оценку параметров следующего трансформированного уравнения:

Применение в этом случае обобщенный метод наименьших квадратов приводит к тому, что наблюдения с меньшими значениями преобразованных переменных имеют при определении параметров регрессии бо́льший вес, чем с первоначальными переменными. Новые преобразованные переменные получают новое экономическое содержание и их регрессия имеет иной смысл, чем регрессия по исходным данным.

Цель лекции:ознакомить студентов с понятием эконометрики, с этапами эконометрического моделирования.

Определение эконометрики

Предмет эконометрики

Эконометрика – быстроразвивающаяся отрасль науки, цель которой состоит в том, чтобы придать количественные меры экономическим отношениям.

Термин "эконометрика" был впервые введен бухгалтером П. Цьемной (Австро-Венгрия, 1910г.), точнее "эконометрия".

Цьемна считал, что если к данным бухгалтерского учета применить методы алгебры и геометрии, то будет получено новое более глубокое представление о результатах хозяйственной деятельности. Это употребление термина, как и сама концепция, не прижилось, но название "эконометрика" оказалось весьма удачным для определения нового направления в экономической науке, которое выделилось в 1930г.

Зарождение эконометрики является следствием междисциплинарного подхода к изучению экономики. Эта наука возникла в результате взаимодействия и объединения в особый "сплав" трех компонент: экономической теории, статистических и математических методов. Впоследствии к ним присоединилось развитие вычислительной техники как условие развития эконометрики.

В журнале "Эконометрика", основанном в 1930г. Р.Фришем (1895-1973), он дал следующее определение эконометрики:

"Эконометрика – это не то же самое, что экономическая статистика. Она же идентична и тому, что мы называем экономической теорией, хотя значительная часть этой теории носит количественный характер. Эконометрика не является синонимом приложения математики к экономике. Как показывает опыт, каждая из трех отправных точек – статистика, экономическая теория и математика – необходимое, но не достаточное условие для понимания количественных соотношений в современной экономической жизни. Это – единство всех трех составляющих. И это единство образует эконометрику.

Таким образом, эконометрика – это наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических процессов и явлений.

Этапы выделения эконометрики в самостоятельную область знания:

1.XVII в. "Политические арифметики". В. Петти (1623-1667), Г. Кинг (1648-1712), Ч. Давенант (1656-1714) (использовалсь цифры и факты в расчете национального дохода, налогооблажения, денежного обращения, финансов). Политическую арифметику можно назвать описательным политико-экономическим анализом. Это направление побудило поиск законов в экономике. "Закон Кинга" – на основе соотношения между урожаем зерновых и ценами на зерно выявлена закономерность спроса.

2.Развитие статистической теории в трудах: Ф. Гальтан (1822-1911)

К. Пирсон (1857-1936)

Ф. Эджоврт (1845-1926)

Появились первые применения первой корреляции: при изучении связей между уровнем бедности и формами помощи бедным; между уровнем брачности в Великобритании и благосостоянием. Исследовались временные ряды экономических переменных.

3.Параллельно происходил процесс создания маржинальной (неоклассической) теории, которая не смогла объяснить упадок деловой активности, возникновение массовой безработицы в условиях высокого уровня капитализма. Возникла необходимость количественных выражений базовых понятий, таких как "эластичность спроса" или "предельная полезность".

4.Появление первой работы, которая могла бы быть названа эконометрической, книги американского ученого Г. Мура (1869-1958) "Законы заработной платы: эссе по статистической экономике" (1911г.).

Г. Мур подошел к анализу рынка труда и статистической проверки теории производительности Кларка, используя все достижения теории корреляции, регрессии, анализа динамических рядов.

5.Первое применение итальянским ученым Р. Бенини (1862-1956) метода множественной регрессии для оценки функции спроса.

6.Исследование по цикличности экономики. К. Жюгляр (1819-1905) – французский физик (впоследствии экономист) первым занялся исследованием экономических временных рядов с целью выделения бизнес-циклов. Им была обнаружена цикличность инвестиций (продолжительность цикла 7-11 лет). С.Китчин, С. Кузнец, Н. Кондратьев выявили цикличность обновления оборотных средств (3-5 лет), циклы в строительстве (15-20 лет), "большие циклы" Кондратьева (45-60 лет).

7.Построение экономических барометров, основанных на идее: в динамике различных элементов экономики существуют такие показатели, которые в своих изменениях идут впереди других, а потому могут служить предвестниками последних.

Гарвардский барометр был создан под руководством У. Персонса (1873-1973) и У. Митчелла (1874-1948). В течение 1903-1914гг. он состоял из 5 групп показателей, которые в дальнейшем были сведены в три отдельные кривые:

Кривая А – характеризовала фондовый рынок;

В – товарный рынок;

С – денежный рынок.

Каждая из этих кривых представляла среднюю арифметическую из рядов входящих в неё нескольких показателей. Эти ряды предварительно статистически обрабатывались путем исключения тенденции, сезонной волны и приведения колебаний отдельных кривых к сравнимому масштабу колеблемости. В основу прогноза гарвардского барометра было положено свойство каждой отдельной кривой повторять движение остальных в определенной последовательности и с определенным отставанием. Гарвардский барометр представлял собой описание подмеченных эмпирических закономерностей и экстраполяции последних на ближайшие месяцы. Однако в гарвардском барометре можно обнаружить и некоторые теоретические предпосылки. Например, что изменение средних биржевых курсов и показателей фондового рынка (индекс спекуляции А) означало изменение спроса на товары, что влекло за собой, в свою очередь, изменение направления индекса оптовых цен, объема производства и товарооборота (индекс В). Возрастание, например, объема производства вызывало напряжение на фондовом рынке, рост учетной ставки и падение курса ценных бумаг с фиксированным доходом (кривая С). Поэтому максилизм кривой А обычно должен был совпадать с минимизмом кривой С.

8.С 1925г. потеря чувствительности гарвардского барометра и уход со сцены в связи с появлением основного метода макроэкономического анализа метода "Затраты – выпуск" американского ученого В.В. Леонтьева (1906-1999).

9.Что касается экономических барометров, то советский математик-статистик Е. Слуцкий (1880-1948) в работе "Сложение случайных причин как источник циклических процессов" (1927), взяв в качестве случайных рядов последние цифры номеров облигаций из тиражных таблиц выигрышного займа, блестяще доказал, что "сложение случайных причин порождает волнообразные ряды, имеющие тенденцию на протяжении большего или меньшего числа волн имитировать гармонические ряды, сложенные из небольшого числа синусоид". Таким образом, никакой закономерности в любом экономическом барометре могло и не существовать.

10.Проводились экономические построения, использующие методы гармонического анализа и периодограмм-анализа (Г. Мур в США, Бэвэридж в Энстром в Швеции).

В основе гармонического анализа и периодограмм-анализа лежит теорема Фурье, согласно которой всякая периодическая функция, произвольно заданная на некотором промежутке, может быть разложена на ряд простых гармонических колебаний и в конечном счете представлена тригонометрическим рядом вида

y=f(t)=A₀+A₁*sin(kt+e₁)+A₂*sin(kt+e₂)+…

Каждое слагаемое представляет здесь синусоиду – формулу простого гармонического колебания (гармонику), где

А_i – полуамплитуда;

e_i – фаза колебания, то есть характеризует точку, в которой ордината соответствующей синусоиды имеет нулевое значение;

k – связано с периодом колебания равенством k=2π/T

Динамика каждого элемента экономики после исключения из нее тенденции представляется в виде волнообразной кривой. Если бы оказалось возможным эту кривую разложить, хотя бы приближенно, на сумму гармоник, то это дало бы базу для прогноза движения интересующего элемента. Следовательно, задача сводится к нахождению коэффициентов искомого ряда – полуамплитуд А_i – по наблюденным значениям, если известны периоды отдельных гармоник.

Для отыскания периода колебания Т или связанного с ним k применяется метод периодограмм-анализа. Он состоит в том, что в качестве первого приближения берутся два первых члена вышеприведенного ряда, то есть полагают, что: y=y₀+А₁*sin(kt+e₁), и затем испытывают различные произвольные значения Т (целые и дробные). Для каждого из испытываемых периодов вычисляются А₁ и е₁. Затем строится периодографик или периодограмма

А₁²

Где А₁² – интенсивность колебания, соответствующая этим периодам.

Большей интенсивности колебания отвечает большая вероятность того, что соответствующий ей период колебания не случаен.

Затем, выбрав периоды, соответствующие наибольшим интенсивностям, можем представить рассматриваемую волнообразную кривую в виде суммы простых гармоник, имеющих эти периоды, соответствующие А_i. Эта сумма может сколь угодно близко подойти к исследуемой кривой. При применении гармонического анализа и периодограмм-анализа не требуется предварительного исключения тенденции.

Так, к 30-м годам сложились все предпосылки для возникновения эконометрики в отдельную науку.

В 1930г. на заседании Американской ассоциации развития науки было создано эконометрическое общество, на котором норвежский ученый Р. Фриш дал новой науке название – "эконометрика".

С 1933г. под редакцией Фриша стал издаваться журнал "Эконометрика" ("Econometrica"), который существует поныне. В 1914г. появился первый учебник по эконометрике Я. Тинбергена.

Особенности эконометрического метода.

Становление и развитие эконометрического метода происходили на основе так называемой высшей статистики – на методах парной, частной и множественной корреляции, выделения тренда и других компонент временного ряда, на статистическом оценивании.

Первый момент. Эконометрика как система специфических методов начала развиваться с осознания своих задач – отражения особенностей экономических переменных и связей между ними. В уравнения регрессии начали включаться переменные не только в первой, но и во второй степени – с целью отразить свойство оптимальности экономических переменных: наличия значений, при которых достигается минимальное и максимальное воздействие на зависимую переменную. Таково, например, влияние внесений удобрений на урожайность (до определенного уровня насыщение почвы удобрениями способствует росту урожайности, но по достижении оптимального уровня насыщения удобрениями его дальнейшее наращивание не приводит к повышению урожайности и даже может вызвать ее снижение). (В экономике – воздействие возраста рабочего на производительность труда или влияние дохода на потребление некоторых продуктов питания). В конкретных условиях нелинейность влияния переменных может не подтвердиться, если данные варьируют в узких пределах, то есть являются однородными.

Второй момент. Взаимодействие социально-экономических переменных, которое может рассматриваться как самостоятельная комопонента в уравнении регрессии. Например, имеем регрессию

y=a+b₁x+b₂z+b₃xz

Эффект взаимодействия (в данном случае это параметр b₃) может оказаться статистически незначимым. Поэтому гипотезы о нелинейности и неаддитивности связей не исключают особого внимания к проблеме применимости линейных и аддитивных уравнений регрессии.

Поясним по Голдбергу понятия аддитивности и линейности, часто отождествляемые.

- Функция y=f(x₁, x₂,…, x_k) линейна по всем независимым переменным тогда и только тогда, когда dy/dx_i не включает x_i, то есть d(dy/dx_i)=0, эффект данного изменения по x_i не зависит от x_i.

- Функция y=f(x₁, x₂,…, x_k) является аддитивной по x_i тогда и только тогда, когда dy/dx_i не включает x_j (j≠i), то есть тогда, когда d(dy/dx_i)dx_j=0, эффект данного изменения по каждой независимой переменной не зависит от уровня другой переменной. Аддитивность является необходимым определением этой особенности ввиду того, что совместный эффект изменения по всем учтенным независимым переменным может быть получен сложением отдельно вычисленных эффектов изменений по каждой из них.

Рассмотрим примеры оценки линейности и аддитивности ряда функций для случая двух объясняющих переменных в виде таблицы.

функция f(x1, x2)	df/dx₁	df/dx₂	линейность	аддитивность по x₁, x₂
по x₁	по x₂
a₁x₁²+a₂x₂²+ +a₃x₁x₂	2a₁x₁+a₃x₂	2a₂x₂+a₃x₁	нет	нет	нет
x₂/x₁	-x₂/x₁²	1/x₁	нет	да	нет
a₁x₁²+a₂x₂	2a₁x₁	a₂	нет	да	да
a₁x₁x₂²+a₂lnx₂	a₁x₂²	2a₁x₁x₂+a₂/x₂	да	нет	нет
a₁x₁+a₂x₂	a₁	a₂	да	да	да

В эконометрических исследованиях сами уравнения регрессии стали обосновываться содержательно. Например, зависимость себестоимость (y) от объема производства (x) (количества единиц продукции) может быть представлена как

затраты, не зависящие затраты, зависящие

Затраты на производство = от объема производства + от объема производства

(постоянные затраты) (переменные затраты)

yx = b + ax

yx=b+ax => y=b/x+a , или

затраты на постоянные затраты переменные затраты

производство в = на 1 ед. продукции + на 1 ед. продукции

расчете на 1 ед.

продукции

Параметры такого уравнения могут оцениваться м.н.к., но особенность его в том, что каждый параметр имеет совершенно определенный экономический смысл.

В 30-е гг. XXв. повсеместное увлечение множественной регрессией сменилось разочарованием. Строя уравнение множественной регрессии и стремясь включить как можно более объясняющих переменных, исследователи все чаще сталкивались с бессмысленными результатами – прежде всего с несоответствием знаков при коэффициентах регрессии априорным предположениям, а также с необъяснимым изменением их значений. Причина заключается в том, что изолированно взятое уравнение регрессии есть не что иное, как модель "черного ящика", т.к. в ней не раскрыт механизм зависимости выходной переменной y от входных переменных x_i , а лишь констатируется факт наличия такой зависимости.

Для проведения правильного анализа нужно зхнать всю совокупность связей между переменными. Одним из первых подходов к решению этой задачи является конфлюэнтный анализ, разработанный в 1934г. Р. Фришем. Он предложил изучать целую иерархию регрессий между всеми сочетаниями переменных. При этом каждая переменная рассматривалась как зависимая от всех возможных подмножеств переменных, а также от всего множества переменных. Анализируя регрессии с разным числом переменных, Р. Фриш обнаружил "эффект деградации" коэффициентов регрессии. Он проявляется в том, что если в регрессию включается много переменных, имеющих линейные связи друг с другом (мультиколлинеарные переменные), то коэффициенты регрессии имеют тенденцию возвращаться к тем значениям, которые они имели в уравнении с меньшим числом переменных.

Например, при четырех переменных, вводя разное число в анализ, Р. Фриш получил следующие коэффициенты регрессии для связи между x₁ и x₂:

b₁₂= - 0,120 b_12,4=0,919 b_12,3= - 0,112

Это позволило ему сделать вывод о наличии какого-то оптимального круга переменных, выход за который не улучшает коэффициенты регрессии, а делает их неустойчивыми.

На основе изменения коэффициентов регрессии b_i и множественного коэффициента детерминации R² он разделил все переменные на постоянные, лишние и вредные.

Переменная считалась полезной, если ее включение значительно превышало R², когда этого не происходило и ввод новой переменной не изменял коэффициентов регрессии при других переменных, то она рассматривалась как лишняя; если добавляемая переменная сильно изменяла b_i без заметного изменения R², то переменная относилась к вредным. Конфлюэнтный анализ не получил большого распространения. Методы корреляций и регрессий создавались как методы описания двух и более переменных. Совместные изменения переменных могут не означать наличия причинных связей между ними.

Потребность в причинном объяснении корреляции привела американского генетика С. Райта к созданию метода путевого анализа (1910-1920) как одного из разновидностей структурного моделирования.

Путевой анализ основан на изучении всех структурных причинных связей между переменными, т.е. на построении графа связей и соответствующей рекурсивной системы уравнений. Его основным положением является то, оценки стандартизированных коэффициентов этой системы, которые интерпретируются как коэффициенты влияния (путевые коэффициенты), рассчитываются на основе коэффициентов парной корреляции. Это позволяет проанализировать структуру корреляционной связи с точки зрения причинности. Путевой анализ С. Райта, так же как и структурные модели, позволил объяснить проблему ложной корреляции, которой занимались статистики, например, К. Пирсон.

При работе с временны́ми рядами разных показателей были раскрыты проблемы ложной корреляции и проблема лага, т.е. сдвига во времени, который позволял уловить наличие связи между показателями (ВВП и инвестициями, приемом в ВУЗ и выпуском и т.д.).

Ложная корреляция возникала под влиянием фактора времени, т.е. трендовой компоненты в коррелируемых временных рядах в случаях, если

y_i – уровень одного временного ряда во время t,

x_t – уровень другого временного ряда во время t,

то связь между ними выражается графом связей:

x_t

y_t

Это привело к идее изменения корреляции не самих уровней x_t, y_t, а первых разностей: Δx_t=x_t-x_t_-1

Δy_t=y_t-y_t_-1 (при линейных трендах).

Исходя из структуры уровней временного ряда, которые включают

тренд – Т,

конъюнктурный цикл – К,

сезонную компоненту – S,

остаточную компоненту – R,

можно представить любой динамический ряд как сумму четырех составляющих. Временные ряды покупателей X и Y можно записать:

X_i=T(X)_i+K(X)_i+S(X)_i+R(X)_i

Y_i =T(Y)_i +K(Y)_i +S(Y)_i +R(Y)_i .

О. Андерсон (1887-1960) предложил измерять взаимосвязь между названными компонентами и находить частные корреляции между ними. Значимость каждой из них различна: если тренды обоих временных рядов сильно выражены и имеют одинаковую направленность, то соответствующая корреляция получает большое значение; если тренды разнонаправлены, то корреляция может быть более значительной по величине, но отрицательной по знаку; корреляция между остальными компонентами определяется теснотой связи между трендом и конъюнктурными колебаниями, трендом и сезонностью и т.д. Андерсон заметил, что невозможно предсказать, какое значение может получить ковариация тех или иных компонент, т.к. все определяется конкретным экономическим материалом, а также, что дисперсии уровней временных рядов также могут быть представлены как многосложные, включающие вариацию тренда, конъюнктурной компоненты, сезонной остаточный компонент.

Метод оценки разностей разных порядков во временных рядах для подбора наиболее подходящей степени полинома для описания тренда развивали Андерсон и Стьюдент. Выяснилось, что нельзя применять классические методы корреляционного анализа к временным рядам, т.к. не выполняется исходное условие – независимость наблюдений. Так был установлен эффект автокорреляции, выявление и устранение которого составляет одну из важных особенностей эконометрического метода.

Исследование динамики социальных и экономических процессов выявило довольно сильную распространенность эффекта насыщения: выхода на асимптоту при достижении определенных значений показателей. В силу этого в эконометрике большое распространение получили так называемые кривые с насыщением. К этому числу относится кривая Гомперца:

y=k*a^b^*t, где k, a, b – параметры, t – время (1, 2,…).

Она используется для аналитического выражения тенденции развития показателя во времени, имеющего ограничения на рост.

Рисунки (а) и (б): верхний предел показателя y равен параметру k, нижний равен 0.

Рисунки (в) и (г): кривая имеет лишь нижний пределk.

Для определения параметров тренда а и b может использоваться метод наименьших квадратов, только если задан параметр k. Иначе возможно лишь приближенное оценивание параметров. Кривая Гомперца применяется в демографических расчетах и страховом деле.

К кривым насыщения относится и логистическая кривая

_t=, a, b, k – параметры; t – время

Кривая характеризует развитие показателя во времени, когда ускоренный рост в начале периода сменяется замедляющимся темпом роста вплоть до полной остановки.

Используется для описания развития производства новых товаров, роста численности населения.

Эконометрическая модель, как правило, основана на теоретическом предположении о круге взаимосвязанных переменных и характере связи между ними. При всем стремлении к "наилучшему" описанию приоритет отдается качественному анализу.

Этапы эконометрического исследования и построения эконометрической модели

● постановка проблемы;

● получение данных, анализ их качества;

● спецификация модели;

● оценка параметров;

● интерпретация результатов;

(это верно как для пространственных, так и для временных данных).

Лекция 1. Предмет эконометрики. Особенности эконометрического мето­да. Этапы эконометрического исследования и по­строения эконометрической модели.

Лекция 1. Предмет эконометрики. Особенности эконометрического метода. Этапы эконометрического исследования и построения эконометрической модели.