Системы счисления, используемые в ЭВМ
Связь между позиционными системами счисления
Двоичная система счисления
Из всех позиционных систем счисления особенно проста и поэтому интересна двоичная система счисления. В ней для записи чисел используются всего две цифры: 0 и 1. Запись 10 означает число 2, так как две единицы данного разряда составляют единицу старшего разряда.
В двоичной системе счисления основание q = 2. В этом случае формула (1) принимает следующий вид:
A2 = ±(an–1 × 2n–1 + an–2 × 2n–2 +…+ a0 × 20 + a–1×2–1 + a–2 × 2–2 +…+ –m × 2–m),
где аi — цифры 0 или 1.
Выпишем начало натурального ряда чисел в десятичной и двоичной системах счисления:
| A10 | A2 | A10 | A2 |
Итак, двоичное число представляет собой цепочку из нулей и единиц. При этом оно имеет достаточно большое число разрядов. Быстрый рост числа разрядов — самый существенный недостаток двоичной системы счисления.
Человек привык работать в десятичной системе счисления,
а ЭВМ ориентирована на двоичную систему. Поэтому общение человека с машиной было бы невозможно без создания простых и надежных алгоритмов перевода чисел из одной системы счисления в другую.
От того, какая система счисления будет использована в ЭВМ, зависят скорость вычислений, емкость памяти, сложность алгоритмов выполнения арифметических операций.
Дело в том, что для физического представления (изображения) чисел необходимы элементы, способные находиться в одном из нескольких устойчивых состояний. Число этих состояний должно быть равно основанию используемой системы счисления. Тогда каждое состояние будет представлять соответствующую цифру из алфавита данной системы счисления.
Десятичная система счисления, привычная для нас, не является наилучшей для использования в ЭВМ. Для изображения любого числа в десятичной системе счисления требуется десять различных символов. При реализации в ЭВМ этой системы счисления необходимы функциональные элементы, имеющие ровно десять устойчивых состояний, каждое из которых ставится в соответствие определенной цифре. Так, в арифмометрах используются вращающиеся шестеренки, для которых фиксируется десять устойчивых положений. Но арифмометр и другие подобные механические устройства имеют серьезный недостаток — низкое быстродействие.
Создание электронных функциональных элементов, имеющих много устойчивых состояний, затруднено. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются так называемые двухпозиционные элементы, способные находиться в одном из двух устойчивых состояний, например:
• электромагнитное реле замкнуто или разомкнуто;
• ферромагнитная поверхность намагничена или размагничена;
• магнитный сердечник намагничен в некотором направлении или в противоположном ему;
• транзисторный ключ находится в проводящем или запертом состоянии и т. д.
Одно из этих устойчивых состояний может представляться цифрой 0, другое — цифрой 1. С двоичной системой связаны и другие существенные преимущества. Она обеспечивает максимальную помехоустойчивость в процессе передачи информации как между отдельными узлами автоматического устройства, так и на большие расстояния. В ней предельно просто выполняются арифметические действия и возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации. Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ.
Широкое применение в ЭВМ нашли также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Обмен информацией
между устройствами большинства ЭВМ осуществляется путем передачи двоичных слов. Пользоваться такими словами из-за их большой длины и зрительной однородности человеку неудобно.
Поэтому специалисты (программисты, инженеры) как на этапах составления несложных программ для микроЭВМ, их отладки, ручного ввода-вывода данных, так и на этапах разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют коды машинных команд, адреса и операнды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системе счисления. В результате длина исходного слова сокращается в 3 или 4 раза соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и анализа.
Таким образом, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления выступают в качестве простейшего языка общения человека с ЭВМ, достаточно близкого как к привычной для человека десятичной системе счисления, так и к двоичному «языку» машины.
Двоично-десятичное кодирование.Как правило, пользователь ЭВМ вводит исходную информацию и получает результат решения задачи в десятичной системе счисления. При вводе информации в ЭВМ каждая десятичная цифра заменяется ее двоичным эквивалентом в виде тетрады(четыре двоичных разряда). Десятичное число требует для своего изображения стольких тетрад, сколько имеется десятичных разрядов в числе.
Таким образом, десятичные цифры представляются в двоичной системе счисления, а все разряды без изменения — в десятичной системе счисления. Это позволяет выполнять арифметические операции в десятичной системе счисления, используя двоичные элементы для хранения и переработки числовой информации. Такая форма представления данных называется двоично-десятичной. Говорят о двоично-десятичном коде (ДДК) или о смешанной двоично-десятичной системе счисления.
Пример. Число 38 в смешанной двоично-десятичной системе будет иметь вид: 0011 10002–10.
Обратите внимание на то, что приведенная запись не соответствует двоичному представлению десятичного числа 38:
3810 = 1001102.
При выводе информации из ЭВМ наблюдается обратный процесс: двоичное число переводится в ДДК и затем десятичное число выводится на печать.