LU-разложение матрицы и основанный на нем метод решения системы
Пусть решается СЛАУ (5), при этом имеется LU-разложением матрицы системы. Тогда метод решения СЛАУ, основанный на LU-разложении заключается в следующем. Исходная система представляется в эквивалентном виде:
. (35)
Обозначим произведение матрицы на вектор неизвестных через вектор новых неизвестных :
, (40)
тогда система (35) примет вид:
. (45)
Таким образом, чтобы решить исходную систему (5) общего вида в методе, основанном на LU-разложении, надо решить последовательно две системы, но с треугольными матрицами: сначала СЛАУ (45), в результате получим вектор , а затем СЛАУ (40), подставив в правую часть уже известный .
СЛАУ (45) – система с нижней треугольной матрицей с единицами на главной диагонали:
.
Ее решение происходит сверху вниз путем последовательной подстановки уже найденных значений . После того, как найден, решается СЛАУ (40):
.
Решение производится снизу вверх путем выполнения последовательной подстановки уже найденных на предыдущих шагах значений .
Таким образом, основные шаги метода решения СЛАУ (5), основанного на LU-разложении матрицы системы, следующие:
Шаг 1. Построить LU-разложение матрицы СЛАУ: ;
Шаг 2. Решить СЛАУ , в результате решения получить вектор ;
Шаг 3. Решить СЛАУ , в результате решения получить искомый вектор .