Вторая теорема Вейерштрасса
Первая теорема Вейерштрасса
Теорема о локальной ограниченности функции
Вторая теорема Вейерштрасса
Первая теорема Вейерштрасса
Теорема о локальной ограниченности функции
План
Лекция 6. Функции, непрерывные на сегменте
Определение 1. Пусть функция определена на . Говорят, что непрерывна на , если она непрерывна в каждой точке .
Теорема 1 (о локальной ограниченности функции). Пусть функция непрерывна в точке , тогда существует окрестность точки , в которой функция будет ограниченной.
Доказательство. Поскольку непрерывна в точке , то по определению непрерывности функции на основе определения предела функции по Коши имеем:
для , что для выполняется неравенство:
.
Тогда
что и требовалось доказать.
Теорема 2. Пусть функция определена и непрерывна на , тогда ограничена на этом сегменте.
Доказательство. Допустим, что функция определена и непрерывна на , но не является ограниченной на этом сегменте. Это означает, что для , что
. (1)
Рассмотрим полученную последовательность аргументов . Поскольку все , то последовательность - ограничена, тогда из нее обязательно можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Пусть
, .
Из непрерывности функции всюду на , а потому и в точке , вытекает, что
. (2)
Но равенство (2) противоречит (1), поэтому функция является ограниченной на .
Замечание. Если функция будет определенной и непрерывной не на сегменте, а на каком-то другом множестве, то теорема не будет иметь места.
Для того, чтобы проверить истинность замечания, приведем пример, где теорема не будет иметь места.
Пример. Рассмотрим функцию на полусегменте (а не на сегменте!) . На этом промежутке непрерывна везде ( имеет разрыв ІІ рода только в точке , но эта точка не входит в область, на которой рассматривается - ), но она не ограничена на (рис.1).
Теорема 3. Пусть функция определена и непрерывна на , тогда достигает на этом сегменте своих точных нижней и верхней границ.
Доказательство. По первой теореме Вейерштрасса ограничена на , тогда у нее обязательно существуют:
.
Нам нужно доказать, что существуют такие аргументы функции і , что
.
Докажем теорему для . Предположим, что не достигает на своего супремума (не существует никакой точки , для которой ), т.е. для :
. (3)
Построим вспомогательную функцию . Благодаря предположению (3) функция определена и непрерывна на , тогда по первой теореме Вейерштрасса ограничена на , а потому обязательно ограничена сверху на . Пусть - одна из верхних границ :
. (4)
Поскольку для , то . Из (4) вытекает, что:
.
Таким образом, - верхняя граница для на , но . Получили противоречие, поэтому наше предположение является ошибочным, и функция достигает на своего супремума.
Задание. Доказать вторую теорему Вейерштрасса для .
Замечание. Важным для выполнения теоремы является условие, что функция рассматривается именно на сегменте: если определена и непрерывна на каком-то другом множестве, а не на сегменте, то теорема вообще может не выполняться.
Пример. Функция рассматривается на полусегменте (рис.2). На этом множестве она непрерывна и ограничена, но она не достигает своего супремума, который равняется 1.
Пример. Рассматривается функция . Область определения - множество действительных чисел . Функция - непрерывна и ограничена на своей области определения, но не достигает ни инфимума, ни супремума, которые равняются соответственно и (рис.3).
Рис.3.