Метод альфа-бета отсечения
Метод ветвей и границ
Перебор, который осуществляет поиск с возвратом, можно уменьшить, используя идею метода «ветвей и границ». Эта идея состоит в том, что можно не искать точную оценку хода, про который стало известно, что он не может быть лучше, чем один из ходов, рассмотренных раньше. Пусть, например, в процессе перебора стало известно, что f(p1) = -10. Отсюда заключаем, что f(p) ³ 10, и потому не нужно знать точное значение f(p2), если каким-либо образом узнали, что f(p2) ³ -10 (поскольку отсюда следует, что -f(p2) £ 10). Итак, если p21 допустимый ход из p2 и f(p21) £ 10, можно не исследовать другие ходы из p2. Говорят, что ход в позицию p2«опровергается» (ходом в p1), если у противника в позиции p2 есть ответ, по крайней мере, столь же хороший, как его лучший ответ в позиции p1. Ясно, что если ход можно опровергнуть, можно не искать наилучшее опровержение.
Эти рассуждения приводят к методу «ветвей и границ», гораздо более экономному, чем поиск с возвратом. Определим метод «ветвей и границ» как процедуру с двумя параметрами p и bound, вычисляющую f’(p, bound). Цель алгоритма – удовлетворить следующим условиям:
f’(p, bound) = f(p), если f(p) < bound,
f’(p, bound) > bound, если f(p) ³ bound.
Идею метода ветвей и границ реализует следующий алгоритм.
function B&B(p: position, bound: integer): integer;
{оценивает и возвращает выигрыш F’(p) для позиции p}
label done;
var
m,i,t,d: integer;
begin
Определить позиции p1,...,pd, подчиненные p;
if d = 0 then B&B := f(p) else begin
m := -¥;
for i:= 1 to d do begin
t := - B&B(pi, -m);
if t > m then m := t;
if m >= bound then goto done;
end;
done: B&B := m;
end;
end;
Листинг 5.17 – Алгоритм, использующий метод ветвей и границ
Метод «ветвей и границ» можно еще улучшить, если ввести не только верхнюю, но и нижнюю границу. Эта идея – ее называют минимаксной альфа-бета процедурой или просто альфа-бета отсечением – является значительным продвижением по сравнению с односторонним методом ветвей и границ. Определим процедуру f’’ с тремя параметрами p, alpha и beta (причем всегда будет выполнено alpha < beta), которая удовлетворяет следующим условиям:
f’’(p, alpha, beta) £ alpha, если f(p) < alpha,
f’’(p, alpha, beta) = f(p), если alpha < f(p) < beta,
f’’(p, alpha, beta) ³ beta, если f(p) ³ beta.
Идею метода альфа-бета отсечения реализует следующий алгоритм.
function AB(p: position; alpha, beta: integer): integer;
{оценивает и возвращает выигрыш F’’(p) для позиции p}
var
m,i,t,d: integer;
begin
Определить позиции p1,...,pd, подчиненные p;
if d = 0 then AB := f(p) else begin
m := alpha;
for i:= 1 to d do begin
t := -AB(pi, -beta, -m);
if t > m then m := t;
if m >= beta then goto done;
end;
done: AB := m;
end;
end;
Листинг 5.18 – Алгоритм, использующий альфа-бета отсечение
Выгода от альфа-бета отсечения заключается в более раннем выходе из цикла. Эти отсечения полностью безопасны (корректны), потому что они гарантируют, что отсекаема часть дерева хуже, чем основной вариант.
При оптимальных обстоятельствах перебор с альфа-бета отсечением должен просмотреть W(L+1)/2 + WL/2 – 1 позицию, где W – среднее количество ходов в позиции, а L – количество уровней дерева. Это намного меньше, чем перебор с возвратом. Данное отсечение позволяет достигать примерно вдвое большей глубины за то же самое время.