Арифметические операции над непрерывными функциями.

Классификация точек разрыва.

Определение. Точка разрыва 1 рода – это точка разрыва, в которой функция имеет конечные правый и левый пределы.

Пример. ,

 

Определение. Если правый и левый пределы в т. равны между собой, то т. - точка устранимого разрыва. Обычно в этой точке функция или не определена, или имеет предел, отличный от значения в этой точке. Чтобы устранить разрыв, нужно положить в этой точке значение функции равное пределу в этой точке.

Определение. Точка называется точкой разрыва 2 рода, если в этой точке не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов.

Пример.

1. при ;

2.

 

Существует теорема (доказывается в более подробных курсах анализа) о том, что: Все элементарные функции непрерывны в тех интервалах, на которых они определены.

Основные элементы функции:

,обратные тригонометрич. функции.

Функции, построенные из основных, при помощи конечного числа арифметических действий и операций называются элементарными.

Теорема. Пусть и заданы на одном и том же множестве и непрерывны в точке. .

Тогда функции

тоже непрерывна в точке. .

Доказательство.

Т. к. непрерывные в точке функции имеют пределы в т. , соответственно равные и , то по теореме о пределах, пределы перечисленных функций существуют и равны: ,…., а это и есть значения функций в этих точках, следовательно, функции непрерывны в т. по определению непрерывности.