Бесконечно большие последовательности.
Эквивалентные последовательности.
Правила вычисления пределов последовательностей.
Бесконечно малые последовательности.
Определение 5.Последовательность {αn} называется бесконечно малой, если
.
Пояснение.Из определения предела последовательности (определение 4) вытекает, что если {αn} - бесконечно малая последовательность, то
,
и, следовательно, все члены последовательности с достаточно большими номерами сколь угодно малы по абсолютной величине.
Теорема. 3. (об арифметических операциях над бесконечно малыми последовательностями). Если последовательности {αn} и {βn} - бесконечно малые, а {xn} - ограниченная последовательность, то последовательности
(1) {αn + βn},
(2) {αn - βn},
(3) {αn xn },
(4) {αn βn}
являются бесконечно малыми.
Доказательство. Позже.
Замечание. Самым главным в теореме 3 является свойство (3), выражающее связь бесконечно малой и ограниченной последовательности. В условиях теоремы не требуется существования предела у ограниченной последовательности.
Пример.Рассмотрим последовательность .
Ранее мы доказали, что .
Следовательно, - бесконечно малая последовательность.
.
Следовательно, - ограниченная последовательность,
таким образом, рассматриваемая последовательность - бесконечно малая.
.
Предел произведения существует, хотя предел множителя не
существует.
Теорема. 4. Для того чтобы последовательность {xn} имела предел, равный A, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
xn = A+ αn (n=1, 2, …),
где {αn} - бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Позже.
Определение 6.Если , то последовательность {xn} называется постоянной.
Замечание.Постоянная последовательность является ограниченной, т.к.
Теорема. 5. (Правила вычисления пределов последовательностей). Если и , а {C} - постоянная последовательность, то нижеперечисленные пределы существуют и выполняются равенства
| (1) | (2) |
| (3) | (4) |
| (5) при дополнительном условии . |
Доказательство. Позже.
Замечание. Если пределы в правых частях равенств (3) - (5) не существуют, то пределы слева могут существовать. Не будет лишь самих равенств.
Пример.Если xn = yn = n, то справа в (3) и (5) пределы не существуют, а слева пределы их разности и частного . Ранее мы показывали, что , но предел второго сомножителя при этом не существует.
Определение 6.Если
,
то последовательности {xn} и {yn} называются эквивалентными.
Обозначение:
xn ~ yn .
Замечание.Если
xn ~ yn , то yn ~ xn,
то есть верно и
.
Действительно, по правилам (5) и (1) теоремы 5
.
Теорема. 6. Если xn ~ x'n , то yn ~ y'n и , то
и
.
Доказательство.Позже.
Определение 7.Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если
.
Пояснение.Выполнения условия для любого числа , в частности, для как угодно большого, означает, что значения сколь угодно велики для всех достаточно больших номеров n.
Пример.Рассмотрим последовательность
или 1, 23, …, n3,….
очевидно с ростом n элементы последовательности растут и становятся сколь угодно большими при больших n. , если . Положив , получим
.
Следовательно, последовательность - бесконечно большая.
Если последовательность бесконечно большая, то она неограничена, так как не существует число , такое, чтобы для всех n выполнялось условие .