ВВЕДЕНИЕ В РАДИАЦИОННУЮ МЕДИЦИНУ. ФИЗИЧЕСКИЕ

__

__

__ __

__

__

А = { a | a Î W и Ï A }.

Операция "дополнение" унарная (т.е. применима к одному множеству или части формулы, которую можно трактовать как одно множество). Операцию "разность" в формулах можно заменить:

A \ B = A Ç B.

W = {a, c, d, e, f, k}; B = {c, e, f}; A = {a, c};

В È B = W; В Ç B = { } (пусто);

D = A \ B = A Ç B = { c }.

 

Используя множества, операции 1 – 4 и скобки, которые меняют порядок выполнения операций, можно составлять формулы. Наибольший приоритет при выполнении имеет операция "дополнение", затем "разность" и затем две операции одного приоритета – "объединение" и" пересечение"; операции одного приоритета выполняются в формуле по порядку слева направо; если в формуле есть скобки, то сначала выполняются операции в скобках в соответствии с их приоритетом; если знак дополнения стоит над частью формулы, то считают, что та часть взята в скобки (хотя скобки на самом деле могут отсутствовать). В задачах контрольных работ в формулах используются только три подмножества: А, В, С или P, Q, R универсального множества W.

Очень удобным является наглядное представление таких формул с помощью диаграмм Венна. Диаграмма в общем виде – это прямоугольник, представляющий универсальное множество W с тремя пересекающимися окружностями внутри; область, заключенная в каждой окружности, представляет соответственно множества А, В, С. В результате таких построений площадь прямоугольника разбивается (в самом общем случае) на восемь связных областей, каждая из которых или произвольная их комбинация может быть описана бесконечным множеством формул. Одним из способов упрощения формул при выполнении упражнений и задач контрольных работ является последовательное построение диаграмм Венна, соответствующих выполнению каждой операции в формуле, с целью определения того набора областей, которым соответствует формула, а затем их описания более простой формулой, если это возможно.

Число элементов множества

Для любого конечного множества М число элементов (мощность множества) будем обозначать n (M).

Пусть задано несколько множеств (подмножеств одного универсального множества W): А,В,С,... с числом элементов в каждом соответственно: n (A), n (B), n (C),.... Решим задачу о количестве элементов в множестве, записанном в виде формулы, т.е. состоящем из нескольких множеств, связанных операциями пересечения, объединения и дополнения.

 

Дано: A, B, n (A), n (B).

Определить: число элементов в объединении n (A È B).

Для непересекающихся множеств число элементов объединения равно сумме элементов в каждом из объединяемых множеств:

 

n (A È B) = n (A) + n (B).

 

Общий случай (два множества имеют общие элементы):

 

n (A È B) = n (A) + n (B) – n (A È B) .

 

Общий случай (три множества имеют общую область):

 

n (A È B È C) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A Ç B) – n (A Ç C) – n (C Ç B) + n (A Ç B Ç C).

 

Упражнения

1 Даны два множества: A = {a, ab, ac} и B = {b, bc, ab}. Найти объединение этих множеств A È B.

 

2 Дано универсальное множество – множество натуральных чисел W= {1,2,3,...,10} и его подмножества A и B. Найти объединение A È B, если элементы множества A – четные числа, а элементы множества B – нечетные.

 

3 Даны множества A = {a, b, c}, B = {b, c, d}, C = {d, e, f}. Определить: (A Ç B) и (A Ç B Ç C).

 

4 Множество В содержит два элемента, а множество А содержит три элемента, такие которые не входят в В, но один элемент множества А входит в множество С. Определить:

(В Ç А), (А Ç В Ç С), (А Ç С). Выбор элементов произвольный.

 

5 Даны два множества A = {a, c, b, d, e} и B = {a, b, k}. Определить разность: (A \ B)и (B \ A).

 

6 Даны универсальное множество – множество натуральных чисел W = {1,2,3,...,10} и его подмножество A = {1, 2, 3}. Определить разность (A \ W) и (W \ A).

 

7 Заданы универсальное множество – множество натуральных чисел W = {1,2,3,...,14}, где n = 14 и его подмножества A = {2, 4, 6, 8} и B = {1, 3, 5, 7}. Найти дополнения A и B.

 

8 Заданы универсальное множество – множество натуральных чисел W = {1, 2, 3,..., 12} и его подмножество A = {2, 4, 6, 8}.

Найти объединение дополнения A и множества A.

9 Заданы множества B = {a, b, c,..., k}, A = {a} и C = {b, m, z, x, k}. Определить: (B \ A), (A \ B), (B \ A Ç C).

10 Заданы универсальное множество W = {1,2,3,...,20} и его подмножества: A = {i}, B = {3·i} и C = {4·i}, где i =1,2,3... Найти множество (A È B) \ C.

 

11 Даны два множества A = {a, ab, ac} и B = {b, bc, ab}.

Найти объединение этих множеств A È B и определить количество элементов полученного множества.

 

12 Даны множество A = {abc, d} и множество B = {ad, a}. Определить: A ´ B(прямое произведение этих множеств).

 

13 Даны множества C = {d, e, f} и A = {d, f, m}. Определить множества: Z = C È B и D = Z ´ A.

 

14 Дано множество Y = {a, cb}. Возвести это множество во вторую и в третью степень.

 

15 Упростить выражения:

 

а) Ф = А Ç В \ С È В (с помощью диаграмм Венна);

б) Ф = (А Ç В) \ (С È В) (с помощью диаграмм Венна);

 

в) Ф = А Ç В \ С È В (с помощью диаграмм Венна);

_____________

г) Ф = (А \ В) Ç (В \ А) (с помощью диаграмм Венна).