Переход к новому базису

Контрольные вопросы к теме

1. Понятие матрицы.

2. Виды матриц.

3. Понятие транспонирования матриц.

4. Операции сложения и вычитания матриц.

5. Операции умножения и возведения в степень матриц.

6. Понятие определителя.

7. Определитель - го порядка.

8. Правила нахождения определителей 2 и 3 порядка.

9. Свойства определителей.

10. Правила нахождения определителей - го порядка.

11. Понятие обратной матрицы.

12. Схема нахождения обратной матрицы.

13. Понятие ранга матрицы.

 

 

Лекция 10. *Понятие линейного оператора*

Основные понятия, включенные в систему тренинг- тестирования:

матрица перехода; линейное преобразование; собственное значение матрицы; собственный вектор матрицы; диагонализация матрицы; ортогональная матрица; характеристический многочлен.

 

Пусть в пространстве R имеются два базиса: старый и новый . Каждый из векторов нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Полученная система означает, что переход от старого базиса к новому задается матрицей перехода

,

причем коэффициенты разложения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы этой матрицы.

Матрица — неособенная, так как в противном случае ее столбцы (а следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми. Обратный переход от нового базиса к старому базису осуществляется с помощью обратной матрицы .

Найдем зависимость между координатами вектора в разных базисах. Пусть рассматриваемый вектор имеет координаты относительно старого базиса и координаты относительно нового базиса, т.е.

Подставив значения из системы в левую часть этого равенства, получим после преобразований:

т.е. в матричной форме

или