Дифференциальное уравнение затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение
Свободными затухающими колебаниями называются колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии колебательной системой с течением времени уменьшается.
Линейные системы - это идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются.
Линейными системами являются: пружинный маятник при малых растяжениях ( когда справедлив закон Гука ), колебательный контур ( у которого индуктивность, емкость и сопротивление не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения ).
Различные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями.
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний линейной системы имеет вид:
 ,
| (7.1) |
где S - колеблющаяся величина , описывающая тот или иной физический процесс ;
d = const - коэффициент затухания;
wо - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т.е. при d = 0 ; wо - называется собственной частотой колебательной системы.
Рассмотрим решение уравнения (7.1) в виде:
 ,
| (7.2) |
где U = U ( t ), найдем 
и 
.
 ,
| (7.3) | |
 .
| (7.4) |
Подставив (7.3) и (7.4) в (7.1) получим:
 .
| (7.5) |
Решение уравнения (7.5) зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен
;
;
 ,
| (7.6) |
то имеем
 .
| (7.7) |
Решением уравнения (7.7) является функция: U = Ao cos ( wt + j )
Тогда решением уравнения (7.1) является функция
 ,
| (7.8) |
если затухание мало, (d2 << w2о) то
 ,
| (7.9) |
амплитуда затухающих колебаний, Ао - начальная амплитуда.
Рис.7.1. График зависимости амплитуды затухающих колебаний как функция от времени
Промежуток времени, в течении которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз называетсявременем релаксации.
 ,
| (7.10) |
А = Ао e -dt , Ао/A=e; -dt =1 => 1/d = t
Затухающие колебания не являются строго периодическими, и понятие периода можно вводить только при малых затуханиях, как промежуток времени между двумя последующими максимумами или минимумами колеблющейся физической величины.
С учетом этого:
 .
| (7.11) |
Логарифмическим декрементом затухания (l) называется физическая величина числено равная логарифму натуральному отношению двух амплитуд, следующих друг за другом через период:
 .
| (7.12) |
t / Ne = T.
В СИ [ l ] = 1 - безразмерная величина, тогда из формулы связи :
 .
| (7.13) |
[ Т ] = 1 с ,
[ d ] = 1 / с = 1 с-1
l - постоянная для данной колебательной системы величина.
Ne - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.
Для характеристики колебательной системы вводят понятие добротности Q, которая при l << 0, равна:
 .
| (7.14) |
[Q] = 1 – величина безразмерная
(так как d2 << wо2, T = T0)
Добротность, это физическая величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания.
Учтем, что l = dТ = (1/t)*(Т/1) = 1 / Ne, тогда Q = p / l = pNe = p / dТо = wо / 2d
Выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, применимы для колебаний различной физической природы (механических, электромагнитных)