Обратная решетка

Множество векторов Кназывают обратной решеткой к данной решетке Браве, если плоская волна с волновым вектором К имеет периодичность заданной решетки Браве. Т.е. если для любых rи R=ma₁+na₂+pa₃ для прямой решетки Браве выполняется условие

или

, (*)

то K – вектор обратной решетки.

Набор векторов К сам образует решетку Браве

,

в которой векторы элементарных трансляций b₁,b_2, b₃, определены через элементарные векторы прямой решетки a₁,a_2, a₃

, , ,

где - объем элементарной ячейки.

Так как , если , и , если ,

то .

Поэтому условие (*) выполняется при целых числах h,k,l.

Последнее условие совпадает с условием дифракции Лауэ. Таким образом условие Лауэ означает, что дифракционные максимумы наблюдаются, если волновой вектор рассеяния K=k’-k совпадает с одним из векторов обратной решетки Браве.

Примеры и свойства обратных решеток.

 

Прямая кубическая решетка Браве Обратная решетка Браве

 

Условная элементарная ячейка кубической решетки, с базисом из двух узлов.

Прямая г.ц.к. Обратная о.ц.к.

 

Прямая о.ц.к. Обратная г.ц.к.

 

 

Простая гексагональня Обратная гексагональная

(повернута на 30⁰)

 

Элементарную Ячейку Вигнера_Зейтца для обратной решетки называют первой зоной Бриллюэна

 

 

Пример построения первой зоны Бриллюэна для плосой косоугольной обратной решетки

 

Примитивный базис г.ц.к. решетки и зона Бриллюэна г.ц.к. решетки

(усеченный октаэдр)

Примитивный базис о.ц.к. решетки и первая зона Бриллюэна (12-гранник - ромбододекаэдр)

 

 

Теорема о свойствах векторов обратной решетки

 

 

Эквивалентность формулировок дифракции Лауэ и Брэгга

, ,

 

→

 

Классификация атомных плоскостей. Индексы Миллера.

 

Кристаллографическое направление R=ma₁+na₂+pa₃]- направление прямой, проходящей через два узла прямой решетки.Браве. Если один из узлов, через который проведена прямая, принять за начало координат, то положение ближайшего к нему узла, полностью характеризует положение прямой в кристалле. Координаты этого узла [mnp] называют символом направления в решетке, а индексы m, n, p - индексами Миллера кристаллографического направления

Индексы Миллера атомной плоскости (h,k,l) – это координаты наименьшего вектора обратной решетки G=hb₁+kb₂+lb₃, перпендикулярного данной плоскости, в системе координат, заданной векторами обратной решетки b₁,b₂,b₃.

 

Свойства индексов Миллера для атомных плоскостей: h,k,l - целые, не имеют общего делителя, относятся друг к другу как обратные длины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат элементарной ячейки прямой решетки и выраженных в длинах элементарных векторов трансляций a₁,a₂,a_3.