Основы системной динамики

 

1.3.1. Причинные связи и поведение систем

Взаимодействие между элементами системы может иметь различную природу и выражаться разными функциями. Между тем поведение системы часто определяется не столько функцио­нальными характеристиками связей, сколько их причинной направленностью. Это продемонстрировал в ряде своих ра­бот известный системный аналитик Д. Медоуз. Основные типы поведения, наблюдаемые в системах, мож­но изобразить в вице графика базовой динамики (см. рис. 1.1), где на оси абсцисс откладывается время t, а на оси ординат — суще­ственные факторы динамики системы F.

Допустим, что некоторый фактор А с течением времени сначала возрастает, а затем начинает уменьшаться. Это может быть ход температуры за время вегетационного периода, изме­нение плодородия почвы за ряд лет, возрастные изменения фи­зической выносливости человека, темпы экономического роста и т. д. Есть другой фактор В. Он может быть не связан с факто­ром А и не реагировать на его изменения (0-связь).

Рис.1.1. График базовой динамики

 

Если же связь между ними существует (это можно представить как А ® В), то возможны варианты этой зависимости. В одном слу­чае изменения А приводят к однонаправленным изменениям В:

Знак + здесь означает именно однонаправленность из­менений. Так, продукция земледелия следует за плодородием почвы, скорость роста теплолюбивых растений — за ходом температуры, рост численности населения вызывает увеличение уровня потребления топливных ресурсов.

В другом случае изменения А приводят уже к противоположным изменениям В: Это противонаправленная (отрицательная) причинная связь. С ростом числа насекомых-вредителей падает урожай плодов в саду; здоровье человека находится в обратной зависимости от потребления алкоголя; наращивание вооружений уменьшает безопасность людей и т. д.

Иногда изменение А не сразу приводит к изменению В; подобное запаздывание обозначается как . Наличие отрицательной причинной связи совсем не означает, что это обязательно какое-то плохое воздействие: следует различать направленность влияний и качественный результат. Ведь с уменьшением числа вредителей урожай сада повышается, а снижение цен ведет к повышению уровня жизни. Это положительные результаты при отрицательной причинной связи.

1.3.2. Сети взаимодействий и контуры обратных связей

В реальных системах рассмотренные зависимости образуют сложные цепи и сети причинных связей, потому что А влияет не только на В, а В в свою очередь может влиять на ряд других элементов или факторов системы. Появление в окружающей среде вредного вещества влияет на самочувствие человека через длинную цепь молекулярных процессов. Многие цепи причинных связей образуют замкнутые кольца, которые называют контурами обратных связей. Простейшим примером такого контура может быть модель взаимовлияния численностей популяций хищника и жертвы:

 

Они связаны и отрицательной, и положительной причинными зависимостями. Чем больше численность хищника, тем меньше становится численность жертвы (отрицательная связь (-)), но чем меньше жертв, тем меньше пищи для хищников, и численность их популяции уменьшается (положительная связь (+)). Если речь идет об одном виде хищника и одном виде жертвы (реально в природе такая ситуация встречается редко, есть и другие жертвы), хищник, не может себе позволить уничтожить всех жертв, иначе погибнет. Большая часть жертв обычно избегает встречи с хищником.

При анализе устойчивости такой системы особое значение имеет знак контура обратной связи, который имеется в системе. Правило для определения знака контура такое же, как при определении знака числа, получающегося при умножении чисел: «плюс и минус дают минус», или можно определять знак по количеству отрицательных связей в контуре : если их число n нечетное (n = 2к+1, где к =0,1,2…), то контур имеет отрицательный знак. Значит, в рассматриваемой нами системе “хищник-жертва” контур имеет отрицательный знак (-). Это означает, что система способна сама себя поддерживать, хотя и колеблется около какого-то более или менее стабильного уровня. Можно сказать, что в какой-то период количество жертв уменьшилось, потому что в предыду­щем периоде оно увеличилось. Каждый из связанных таким образом членов системы становится причиной своего собст­венного поведения во времени.

Необходимо подчеркнуть исключительное значение отрицательных обратных связей и отрицательных контуров для любых систем, в которых осуществляется регуляция.

В отличие от них контуры положительных обратных связей не только не способствуют регуляции, но и, наоборот, генерируют дестабилизацию систем, приводя их либо к угнетению и гибели, либо к ускоряющемуся росту, за которым, как правило, также следуют срыв и разрушение системы. Так, наращивая производство и применение пестицидов, мы через какое-то время сталкиваемся с повышением устойчивости вредителей к ядам, их усиленным размножением из-за того, что оказались отравленными их естественные враги в природе — птицы. Приходится разрабатывать новые препараты и снова увеличивать их производство, хотя ясно, что победа может быть только временной.

В любом растительном сообществе плодородие почвы (ПП), урожай растений (УР), количество отмерших остатков растений - детрита (Д) и количество образующегося из него гумуса (Г) образуют замкнутый контур положительных связей (рис. 1.2). Система находится в неустойчивом равновесии, так как достаточно потери части плодородного слоя почвы в результате эрозии или изъятия части урожая растений без последующего возврата в почву необходимого количества питательных веществ, чтобы начался процесс деградации почвы и снижения продук­тивности растений.

 

УР

Рис. 1.2. Схема контура положительной обратной связи в примитивном земледелии.

Спираль иллюстрирует процесс снижения плодородия почвы (ПП) и урожая рас­тений (УР): Д — детрит, остатки растений; Г — гумус

Этот порочный круг или, точнее, порочная спираль получила в свое время название закона убывающего плодородия. Наши предки вплотную сталкивались с действием этого закона в эпоху подсечно - огневого земледелия, когда из-за быстрого снижения урожая приходилось сводить все новые участки леса под новую пашню.

В сложных системах всегда сочетаются контуры обоих зна­ков. Такого рода системы характерны для человеческого общества. Иллюстрацией такой системы может служить связь между экспоненциальным ростом численности населения и увеличением производства продуктов питания (рис. 1.3). Высокая рождаемость вызывает быстрый рост численности населения (перенаселение), что в свою очередь стимулирует поиск новых технологий для увеличения объемов производства сельхозпродукции.

Результатом применения новых технологий является увеличение производства продуктов питания (перепотребление), что в свою очередь по существующим цепочкам связей приводит к новому витку в увеличении численности населения и быстрому снижению плодородия земель - эрозии почвы (переэксплуатации).

При рассмотрении контуров с большим числом связей существует важное правило: при четном числе n последовательных отрицательных связей в контуре (n = 2к, где к =0,1,2… ) он становится контуром положительной обратной связи (“отрицание отрицания”; “минус и минус дают плюс”).

 

 

Рис. 1.3. Возможные виды обратной связи между численностью населения и производством пищевых продуктов

 

Особенно важно отметить, что поведение подобных систем в большей степени определяется наличием контуров обратной связи, а не конкретными значениями коэффициентов, которые обу­словливают силу каждой отдельной причинной связи. Чтобы изменить поведение системы, недостаточно изменить коэффициенты, гораздо важнее добавить или изъять какие-то кольца связей, которые могли бы изменить знак системы.

 

1.3.3. Система «Человек — Экономика — Биота —Среда»

Задача совместного рассмотрения причинных связей, описывающих взаимодействие человека и природы, необычайно сложна и вместе с тем, при некоторых условиях и оговорках, может быть сведена к очень простой системной модели «Человек — Экономика — Биота —Среда» (ЧЭБС), в ко­торой использованы рассмотренные нами приемы установления причинных связей. В ней можно выделить четыре этапа.

1. Сначала возьмём “простейший” контур взаимодействия "Человек — природа”:

Будучи системой с отрицательной обратной связью (-), она должна быть и самоподдерживающейся, авторегуляторной. В том смысле, что человек (эксплуататор) неизбежно угнетает сам себя посредством угнетения природы (ресурса) и для того, чтобы этого избежать, вынужден соизмерять свой аппетит с ресурсами природы. В действительности в настоящее время эта система не равновесна и не устойчива: сильная прямая отрицательная связь Ч и П не уравновешивается слабой по­ложительной обратной связью П и Ч. Человек (хищник, эксплуататор) ведет себя так, как будто почти не испытывает ограничений и сопротивления со стороны природы (жертвы, ресурса).

2. “Развернем” компоненты системы следующим образом (рис. 1.4). Здесь система “Природа” (П) подразделена на биоту —совокупность всех живых организмов биосферы — и на их среду, включая среду человека. А система “Человек” (Ч) подраз­делена на собственно человека (людей) и на человеческое хо­зяйство — экономику.

 

 

П

Рис. 1.4. Схема связей между главными компонентами экосферы

(пунктирные стрелки указывают на слабые связи между элементами)

 

Контур Ч-Э имеет положительный знак, поскольку взаимозависимость между людьми и экономикой положительна: человечество растет и наращивает производство продуктов - ре­сурсов для своего дальнейшего роста. Второй контур С - Б имеет отрицательный знак, так как взаимодействия между ор­ганизмами (биотой) и средой в природе в целом превосходно уравновеше­ны: биота биосферы обладает средообразующей функцией и точно контролирует свойства собственной среды, а условия среды (в ос­новном ограниченность количества вещества, которое может быть использовано биотой) лимитируют увеличение массы биоты.

Воз­действие человеческого хозяйства на биосферу противонаправлен­но (негативно), а состояния среды и человеческого сообщества сопряжены положительной причинной связью, т.к. благоприятность окружающей среды в сильной степени влияет на качество жизни людей. Контур всей су­персистемы имеет отрицательный знак.

3. На следующем этапе избавляемся от блоков и рас­сматриваем всю систему как единый контур причинных связей (рис. 1.5). В отличие от схемы на рис. 1.4 здесь все классы сис­тем материального мира Земли замкнуты в одну динамическую суперсистему. И поскольку в настоящее время связь среды и человека практически односторонняя и положительная, поскольку благополучие человека существенно зависит от состояния среды, но пока еще не так заметно, как в природе лимитируется ресурсами и факторами среды, то связь “человек®среда” слабая и исключена из системы.

 

 

Рис. 1.5. Система ЧЭБС как единый контур причинных связей

 

Такой же характер имеет связь “биота-экономика”, поскольку осуществляемые человеком усилия по восстановлению и возврату веществ, используемых в природных круговоротах, ничтожны по сравнению с объемом изъятия и утраты природных ресурсов, конечность ресурсов биоты пока никак не влияет на экономику, поэтому исключим и ее.

Кроме того, воздействие человека на биоту и среду опосредовано экономикой, поэтому эти связи не дублируются. Очевидно, что после применения правил определения знаков контуров и исключения из рассмотрения слабых связей, показанных на рис. 1.6 пунктирными линиями, получаем положительный знак контура системы в целом, это доказывает, что в настоящее время система неустойчива, хотя в ней и имеются возможности восстановить способность к саморегуляции, если изменить ее структуру (добавить новые связи или изменить знак уже имеющихся).

 

4. Как было показано в п. 2, в целом система ЧЭБС имеет отрицательный знак, т.е. обладает свойствами контура с отрицательной обратной связью и должна быть способной к авторегуляции. Следовательно, для изменения поведения системы ЧЭБС необходимо, чтобы влияние биоты на экономику (связь Б ®Э) и зависимость развития человеческого общества и роста численности населения от состояния среды (связь Ч®С) усилились.

 

Рис. 1.6. Видоизмененная структура системы ЧЭБС

(связи, которые требуется усилить, показаны пунктирными линиями)

 

Поэтому основная задача человеческого общества - изменение знака всей суперсистемы на отрицательный, что можно достичь соизмерением темпов развития экономики, производства, техники, наращивания численности населения с потенциальными возможностями природной среды к самовосстановлению в условиях эксплуатации ее ресурсов человеком, что показано на рис. 1.6.

1.3.4. Моделирование динамики систем

на основе теории ориентированных графов

 

Приведенные в начале раздела основные принципы поведения систем, выражаемые причинными связями между элементами (параметрами) системы, нашли применение в моделировании динамики систем. Параметры экосистем (биомасса, продуктивность, численность того или иного вида и другие) могут изменяться во времени. Изменения в основном вызываются сменой параметров среды. Количественная оценка этих изменений особенно важна для прогнозирования поведения системы с течением времени. Цель оценки - определение реакции системы на происходящие в ней изменения и их влияние на ее устойчивость. Один из методов исследования динамики экосистем основан на применении теории ориентированных графов (орграфов) для построения модели экосистемы и расчета изменений параметров системы во времени.

Рассмотрим методику применения орграфов в экологии.

1.3.4.1. Основные понятия

 

Геометрически орграф представляют в виде набора вершин и дуг. Вершину, в которую не заходит ни одна дуга, называют начальной, а конечной – ту, из которой не выходит ни одна дуга.

Путем в орграфе называется конечная последовательность дуг, в которой начало каждой последующей дуги, совпадает с концом предыдущей. Путь описывается последовательностью вершин, через которые он проходит.

Контуром называется путь, начальная вершина которого совпадает с конечной.

Контуры появляются, когда учитывается взаимное влияние элементов экосистемы (вершин) друг на друга.

Прямо пропорциональное влияние (положительная связь) отмечается знаком “+1” и обозначает, что при росте параметра вершины в начале дуги, увеличивается параметр вершины в конце дуги.

Обратно пропорциональная зависимость между параметрами (отрицательная связь) отмечается знаком “-1” и обозначает, что увеличение параметра в начале дуги приводит к уменьшению параметра в конце дуги.

Контуры, усиливающие тенденцию отклонения от начального, называют контурами с положительной обратной связью.

Такие контуры содержат обратные связи со знаком “+” или четное число связей со знаком “–“. Контуры, в которых подавляется тенденция отклонения от начального состояния, называются контурами с отрицательной обратной связью.

Система будет неустойчива, если в ней имеется много контуров с положительными обратными связями.

Однако сильные отрицательные обратные связи также могут вызывать неустойчивость из-за амплитуды и числа увеличения колебаний. Система считается устойчивой, если после внешнего импульсного воздействия она приходит к стабильному состоянию (рис. 1.7).

Знак у дуги +1 или –1 определяет только направление изменения (уменьшает “-“ или увеличивает “+”). Такие графы называют знаковыми. Они позволяют лишь качественно оценить изменения, которые произойдут в экосистеме.

Более точно взаимосвязи в экосистеме можно описать с помощью взвешенного орграфа, для которого на дугах указывается:

- коэффициент связи е_i,j, (в частном случае ±1);

- время задержки реализации t.

При t = 0 считается, что изменение произойдет мгновенно. На практике изменение параметров экосистем растянуто во времени. Например, засуха и снижение продуктивности лесных лугов, не сразу отразятся на численности зайцев и ещё позднее на количестве лис.

Для удобства математического моделирования коэффициенты влияния e_i,j представляют в виде матрицы смежности M = [К X К], где К – число вершин графа.

 

1.3.4.2. Порядок моделирования динамики экосистем

 

Моделирование изменений в экосистеме проводят в следующем порядке. Состояние (значение) показателя системы в начальный момент времени обозначим V⁰_j, состояние в момент времени t – V^t_j.

1. Задаем вершины графа, компоненты рассматриваемой экосистемы (строим граф). Задаем значения коэффициентов связи на дугах графа е_ij и записываем их в матрицу смежности.

2. Принимаем значение показателя в i-й вершине графа V⁰_j в начальный момент времени t=0. То же самое действие выполняем для всех остальных вершин графа.

3. В какой-либо вершине, называемой активизирующей, задается определенное изменение, импульс p ⁰_i = V^-1_i - V^-2_i , т.е. вычисляется разность между значением показателя в активизирующей вершине в моменты времени, условно обозначенные t=-1 и t=-2 (иными словами, это 2 временных интервала, предшествующие моменту начала моделирования, обозначаемого как t=0) (рис. 1.8). Таких вершин может быть несколько, и в каждой вершине задается свое начальное изменение активизирующего показателя.

4. Выполняем расчет изменений показателей во всех вершинах графа с учетом импульса, возникшего p ⁰_i в вершине i для моментов времени t=1,2,3,4,…

Значения, определяющие состояние j-го показателя в вершинах орграфа, имеющего k вершин, будут рассчитываться по формуле

	k

i=1, i¹j

V^t_j = V^t-1_j + Σe_ij p^t-1_{i , i=1…k ,(1)}

 

где k – число вершин графа,

Р_i^t-1 – активизирующий показатель,

p ^t-1_i = V^t-1_i - V^t-2_i.

5. Расчет изменения значений показателей в вершинах графа – итерационный процесс, результат которого может быть представлен в табличном или графическом виде (рис.1.8).

 

Рис. 1.8. Графическое представление результатов моделирования динамики

экосистемы

 

Рассмотрим пример построения графа и расчета показателей в его вершинах.

В экосистеме обитает 2 хищника и 5 жертв. Как изменится их количество через 5 временных интервалов, если хищников стало на одного больше и как это повлияет на устойчивость системы ?

Построим знаковый орграф (рис. 1.9) и соответствующую ему матрицу смежности.

 

I j	Хищники (х)	Жертвы (ж)
Хищники (х)		-1
Жертвы (ж)	+1

 

Рис. 1.9. Ориентированный граф системы “хищник-жертва” и соответствующая ему матрица смежности

 

Поскольку рост числа хищников снижает число жертв, то в матрице значение -1 показывает, что между ними в данной системе существует отрицательная связь (e_ij= -1), а +1 означает, что рост числа жертв вызывает увеличение количества хищников (чем больше ресурса, тем благоприятнее его потребителю), т.е. между этими элементами существует положительная связь.

Согласно условию задачи активизирующие значения p⁰_х=1, p⁰_ж=0.

 

 

Рис. 1.10. Изменение показателей в вершинах графа с течением времени

 

Начальные значения V⁰_х = 1, V⁰_ж=5.

Рассчитываем значения V и p для 1-го временного интервала (момента времени t=1) по формуле (1). При расчете V¹_х значение e_ij , учитывающее влияние жертв на хищников, берем из столбца j=1, строки i=2 матрицы смежности:

e_ij = e_ж-х =+1,

V¹_х = V⁰_х + e_ж-х* p⁰_ж =1+1*0= 1,

V¹_ж= V⁰_х + e_х-ж * p⁰_х = 5+(-1)*1= 4,

p¹_х= V¹_х - V⁰_х = 0,

p¹_ж= V¹_ж - V⁰_ж = 4 - 5 = -1.

Аналогично для 2-го временного интервала :

V²_х = V¹_х + e_ж-х * p¹_ж =1+1*(-1)=1-1=0,

V²_ж= V¹_ж + e_ij * p¹_х = 4+(-1)*0= 4,

p²_х=-1,

p²_ж=0.

Для 3-го временного интервала :

V³_х = 0+1*(0)=0, V³_ж= 4 +(-1)*(-1) = 5, p³_х=0, p³_ж=1.

Для 4-го временного интервала :

V⁴_х = 0+1*1=1, V⁴_ж=5+(-1)*0 = 5, p⁴_х=1, p⁴_ж=0.

Для 5-го временного интервала :

V⁵_х = 1+1*0=1, V⁵_ж=5+(-1)*1 = 4, p⁵_х=0, p⁵_ж=-1.

Построим графики зависимости V=f(t) для обеих вершин (рис. 1.10).

Анализируя построенный график, можно сделать вывод, что увеличение числа гетеротрофов не ведет к нарушению устойчивости системы, поскольку количество автотрофов не уменьшается.

 

ª Вопросы для самопроверки

 

1. Неизбежны ли экологические противоречия в системе “Человеческое общество – природа” ?

2. Какое значение для природы имеют взаимоотношения между хищником и жертвой ?

&? Вопросы для самостоятельного изучения

 

1. Какие главные аргументы позволяют рассматривать живую природу и человеческое общество в рамках единой динамической системы ?

2. Какие механизмы позволяют устойчиво существовать системе “хищники – жертвы” ?

3. Объясните различие механизмов действия отрицательной и положительной обратной связи в замкнутых контурах причинных зависимостей. Приведите технические и биологические примеры.