Множество внутренней устойчивости графа

B

С D

А

Эйлеров граф.

Эйлеровой цепьюназывается цепь, проходящая по всем ребрам графа.

Эйлеровым циклом называется эйлеровая цепь, начинающаяся и заканчивающаяся в одной вершине.

Эйлеровым графомназывается граф, содержащий Эйлеров цикл.

 

ТЕОРЕМА: Для того чтобы связанный граф был Эйлеровым, необходимо и достаточно, чтобы степени всех вершин были четны

 

 

Данная теорема позволяет решить задачу о Кенигсбергских мостах. Граф, соответствующий данной задаче, имеет вид

 

 

 

 

 

Рис. 3.5 Граф «Кенигсбергские мосты»

 

Вершины графа (A, B, C, D) имеют степени:

(3.3)

Тогда в соответствии с теоремой Эйлера данный граф не является Эйлеровым. А это означает, что нельзя обойти все мосты г. Кенигсберга строго по одному разу, начав и закончив путь в одной точке суши.

 

Следствие из ТЕОРЕМЫ: Для того чтобы граф содержал Эйлеровую цепь, необходимо и достаточно, чтобы две вершины имели нечетную степень. При этом в одной из вершин цепь будет начинаться, в другой – заканчиваться.

 

 

Множество внутренней устойчивости графа – это множество несмежных вершин.

Пусть дан граф . Тогда для множества внутренней устойчивости справедливо следующее:

(3.4)

Максимальным множеством внутренней устойчивостиназывается внутренне устойчивое множество, добавление любой вершины к которому, делает это множество неустойчивым.

ПРИМЕР

Дан граф

Рис. 3.6 Граф

 

Данный граф имеет следующие множества внутренней устойчивости.

Рассмотрим множество . Добавляя к нему любую вершину, получаем множества внутренне неустойчивые: . Следовательно, множество является максимальным множеством внутренней устойчивости.

 

Числом внутренней устойчивости (α)называется число, равное наибольшей мощности максимального внутренне устойчивого множества.

Очевидно, что поиск максимальных внутренне устойчивых множеств путем простого перебора является неэффективной процедурой, поэтому для поиска максимальных внутренне устойчивых множеств существует специальный алгоритм – алгоритм Магу.