Линеаризация дифференциальных уравнений САУ разложением в ряд Тейлора.

Составление дифференциальных уравнений САУ.

Для решения задач анализа и синтеза САУ надо иметь их математические модели, т.е. САУ надо описать дифференциальными уравнениями. Для получения математической модели системы, её разбивают на элементы и записывают дифференциальное уравнение каждого элемента. Эти дифференциальные уравнения связывают изменение выходных величин во времени с изменением входных величин. При составлении этих дифференциальных уравнений используются те законы науки и техники, к которым относятся данные элементы (напр., теоретическая механика, электротехника и т.д.).

Таким образом, математическая модель системы будет состоять из n уравнений,

где n - количество элементов системы.

Эта система уравнений методом подстановки может быть сведена к одному дифференциальному уравнению n-ого порядка вида (1) или (2).

После получения математической модели системы надо проверить ее адекватность, т.е соответствие математической модели и реальной системы.

 

 

Пусть имеется САУ, на входе которой действует X(t), a на выходе Y(t). Пусть динамика этой системы описывается дифференциальным уравнением.

(3)

входная величина, выходная величина, производная.

Пусть в общем случае уравнение (3) нелинейное. При исследовании САУ мы хотим воспользоваться теорией обыкновенных линейных систем как наиболее простой.

Для этого линеаризуем дифференциальное уравнение (3).

Предположим, что в этой системе существует интересующий нас номинальный режим Y_ном.(t) соответствующий номинальному входному воздействию X_ном.(t) и номинальным начальным условиям:

(4)

 

Тогда уравнение САУ на номинальном режиме будет иметь вид:

(5)

 

Однако на практике бывает трудно выдержать номинальные начальные условия и в системе существуют некоторые отклонения от номинальных начальных условий. Т.е. реальные начальные условия имеют вид:

(6)

 

Тогда отклоненным начальным условиям (6) и тому же самому входному сигналу X_н(t) соответствует дифференциальное уравнение, описывающее этот отклоненный режим работы.

(7)

 

Обозначим (*) или

Если при любых начальных условиях (6), сколь угодно мало отличающихся от номинальных начальных условий (4), для любого моменте времени t > 0 будет малым |z(t)|, то номинальный режим Y_н(t) называется устойчивым.

Если при этом , то номинальный режим называется асимптотически устойчивым.

Для нахождения переходного процесса в САУ нам надо найти решение дифференциального уравнения (7).

С учетом (*) уравнение (7) можно записать в виде

 

(8)

Здесь все переменные являются функциями времени и t опущено только для простоты записи.

Разложим правую часть уравнения (8) в ряд Тейлора по степеням Z, Z⁽¹⁾, Z^(n-1) .В разложении в ряд Тейлора учтем только производные от этих переменных не выше первого порядка

 

Если имеется функция нескольких переменных, то ряд Тейлора имеет вид

 

R- остаток ряда

o - точка разложения

Перед разложением правой части уравнения (8) в ряд Тейлора введем обозначения

 

Будем предполагать, что коэффициенты a_j не зависят от времени

 

С учетом этих обозначений уравнение (8) запишется в виде

 

(9)

Вычтем из уравнения (9) уравнение номинального режима (5) и пренебрежем членами высших порядков малости R. В результате получим

(10)

Уравнение (10) является линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Процедура получения из нелинейного уравнения (3) линейного (10) называется линеаризацией. Иногда уравнение (10) записывается в форме Лагранжа:

 

Пример

 

Пусть в системе существует номинальный начальный режим:

Перепишем исходное уравнение:

 

Учтем, что:

тогда

 

Определяем коэффициенты линеаризации

 

Линеаризованное уравнение, записанное в форме Лагранжа, будет иметь вид:

 

Отличия линеаризованного уравнения (10) от исходного нелинейного (3).

1. Уравнение (3) справедливо для всех режимов работы САУ, а уравнение (10) справедливо только при работе вблизи номинального режима (вблизи точки линеаризации).

2. Уравнение (3) является точным уравнением, а уравнение (10)- приближенным, т.к в процессе его вывода были отброшены члены высших порядков малости.

3. В уравнении (3) переменными являются полные величины y, y⁽¹⁾,y⁽²⁾ и т.д.

В уравнение (10) переменными являются отклонения этих переменных от номинального режима (от точки линеаризации). ∆ z, ∆z⁽¹⁾, ∆z⁽²⁾

4. Уравнение (3) является нелинейным, а уравнение (10) линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

 

Геометрический смысл линеаризации разложением в ряд Тейлора.

Пусть имеется нелинейная функция F(x). Проведем линеаризацию этой функции в точке X_н

Разложим эту функцию в ряд Тейлора:

видим, что

Вычтем из F(x) номинальный режим и пренебрежем членами высших порядков малости R. Получим

Линеаризация разложением в ряд Тейлора геометрически означает перенос начала координат в точку линеаризации (в точку номинального режима) и замену нелинейной характеристики касательной к ней, проведенной в точке линеаризации.

Стандартная форма записи линеаризованного уравнения.

В теории автоматического управления принято линеаризованные дифференциальные уравнения записывать по следующим правилам:

1. В левой части уравнения записывается выходная величина и все ее производные, в правой части - входные величины и все их производные.

2. Производные выходной величины слева и входных справа записываются в порядке их убывания.

3. Принято, чтобы коэффициент перед выходной величиной был равен 1, если это не так, то все коэффициенты дифференциального уравнения делятся на коэффициент перед выходной величиной.

Пример

Опишем дифференциальным уравнением динамику цепи возбуждения генератора постоянного тока.

 

(1)

Здесь нелинейность – произведение входного и выходного параметров

Уравнение номинального режима

(2)

Линеаризуем уравнение (1):

(3)

( 1-ый член- значение НЛ функции на установившемся режиме,

2-ой член- производная НЛ функции по

3-ий член – производная НЛ функции по

последний член – последний член уравнения (1) с учетом того, что

Вычтем из уравнения (3) уравнения номинального режима (2) и пренебрежем R_ост.

(4)

Приведем это уравнение к стандартной форме. Для этого члены с выходной величиной запишем в левой части уравнения, а члены с входной величиной -в правой

Обычно пишут так:

считая, что