Границы рабочего пространства для элементарных манипуляционных систем

Рассмотрим плоскую манипуляционную систему с тремя степенями подвижности – двумя поступательными () и одной вращательной (θ). Одна нелинейность и одна избыточная степень подвижности составляют тот минимальный уровень, при котором проявляются важные специфические особенности манипуляционной системы и вместе с тем сохраняются простота движений манипуляционной системы с избыточностью. Функция положения элементарной манипуляционной системы имеет следующий вид:

 

Элементарная манипуляционная система

 

Для аналитического описания границы Γ рабочего пространства плоской манипуляционной системы используем следующее необходимое условие: в любой точке этой границы допустимые перемещения захвата манипуляционной системы должны лежать в полуплоскости, ограниченной касательной к Γ в точке x. Другими словами, скалярное произведение , где – единичный вектор нормали к Γ в точке x, должно быть знакопостоянным.

Применительно к элементарной манипуляционной системе имеем:

где - единичные векторы координатных осей . Отсюда

(3)

Для знакопостоянства правой части (3) все входящие в нее слагаемые должны иметь одинаковый знак при изменении . Значит, для каждого слагаемого должно выполняться одно из следующих условий: 1) значение является предельным и знак постоянен; 2) коэффициент при обращается в нуль. Участки границы Γ можно классифицировать в зависимости от того, какое из указанных условий выполняется для каждой из обобщенных координат.

Пусть ограничения наложены только на перемещения поступательных пар элементарной манипуляционной системы, а угол поворота θ неограничен.

Выделим участки границы Γ трех типов: 1) параллельные оси , где , т.е. отлично от нуля лишь первое слагаемое в (3); 2) параллельные оси , где ; 3) дуги окружностей, где . Очевидно, сформулированным необходимым условиям удовлетворяют по четыре варианта значений , θ для случаев 1) и 2) и в общей сложности восемь дуг окружностей с центральным углом π/2 каждая и центрами .

На рисунке показаны границы рабочего пространства элементарной манипуляционной системы при , когда (а) и (б).

 

а)	б)
Рабочая зона элементарной манипуляционной системы

 

Достаточные условия, выделяющие границу рабочего пространства манипуляционной системы, неизбежно должны быть нелокальными, т.е. должны учитывать все возможные решения задачи позиционирования в точке x. Сложность отыскания всех таких решений приводит к тому, что при построении границ рабочего пространства аналитические методы следует дополнять геометрическими.

В частности, для элементарной манипуляционной системы геометрический анализ позволяет найти уравнения границ рабочего пространства, а также оценку V свойства достижимости:

при ; в противном случае из V следует вычесть площадь области, заштрихованной на рисунке б). Наконец, значения для решений задачи позиционирования в точке x строятся как координаты точек окружности радиуса l с центром в x, лежащих в прямоугольнике ; в силу двигательной избыточности элементарной манипуляционной системы задача позиционирования допускает непрерывное множество решений.

 

Метод ε-сети

Метод ε-сети позволяет получить приближенное решение задачи нахождения рабочей зоны манипулятора. Под ε-сетью в рабочем пространстве манипуляционной системы будем понимать конечную совокупность {} его точек, обладающую тем свойством, что для любой точки найдется достаточно близкая к ней точка , т.е.

. (4)

Идея излагаемого подхода заключается в том, чтобы, построив предварительную ε-сеть {}, использовать условие (4) как критерий принадлежности точки x рабочему пространству. Если (4) нарушается, то, согласно определению ε-сети, x лежит вне . Однако, если (4) выполнено, то либо , либо достаточно близко к границе .

Область - геометрическое место точек, удовлетворяющих (4), будет рассматриваться как некоторая аппроксимация неизвестной области , а ее объем V=V(D) будет служить оценкой искомой величины V() объема рабочего пространства. Чтобы вычислить V(D), применим (4) ко всем узлам кубической решетки с шагом δ. Тогда, очевидно,

,

где N – число таких узлов, удовлетворяющих условию (4).

Для построения ε-сети необходимо сформировать последовательности обобщенных координат , вычислить соответствующие точки и на основе критерия (4) построить ε-сеть. Существует несколько разных способов решения этой задачи: метод n-мерной кубической решетки, метод ЛП-последовательностей и др. Все они имеют свои плюсы и недостатки. Описание этих методов можно найти в специфической литературе.