Т. о. для уравнения

Система нормальных уравнений будет иметь следующий вид:

Ее решение может быть осуществлено методом определителей

Где Δа, Δb – частные определители системы, при этом

Δа, Δb, … , Δb_р получаются путем замены соответствующего столбца матрицы общего определителя данной системы данными левой части системы.

Пример.

у – отношение прибыли ко всем активам банка, %

х₁– Доля ГКО в активах, %

х₂– отношение непроцентных доходов к процентным доходам деятельности банка, %

х₃ – коэффициент полной ликвидности банка

Построить множественную модель

Таблица 1. Исходные данные и расчетные величины для анализа.

№ банк	у,%	х₁,%	х₂,%	х₃,%
	13,5	24,0	2,5	1,27	8,1	5,4	29,16
	25,5	51,0	4,5	1,97	20,1	5,4	29,16
	1,2	10,4	2,5	2,15	7,8	-6,6	43,56
	1,3	14,1	1,6	1,27	4,8	-3,5	12,25
	4,5	4,7	0,3	1,34	1,9	2,6	6,76
	2,7	15,8	0,5	0,97	3,8	-1,1	1,21
	12,2	29,2	0,5	1,15	9,4	2,8	7,84
	4,2	31,0	6,6	1,07	10,1	-5,9	34,81
	4,4	13,5	1,0	1,08	3,7	0,7	0,49
	2,8	2,2	0,6	1,36	1,3	0,8	0,64
	7,5	50,3	2,1	1,11	15,7	-8,2	67,24
	14,4	28,3	7,2	1,18	9,7	4,7	22,09
	11,4	30,4	1,2	1,10	9,2	2,2	4,84
S	10,49	304,9	31,1	1,7,02	105,6	х	260,05
ср	8,1	23,5	2,39	1,31

Ход решения

1. Рассчитать по всем показателям среднее значение ( и V. Результат занесем в таблицу 2.

Таблица 2. Характеристики ряда распределения

Факторы	Среднее значение	Среднее квадратное отклонение	Коэффициент вариации
х₁	23,5	14,83	0,632
х₂	2,39	2,22	0,929
х₃	1,31	0,34	0,261
у	8,1	6,80	0,843

Получим, что х₁, х₂, и у совокупность неоднородно, следовательно, должны исключить аномальные наблюдения

Не исключаем, т.к. важна методика !!!

2. Рассчитаем уравнение парной регрессии между результатом и каждым из факторных признаков.

Установим коэффициенты парной корреляции и детерминации (они характеризуют изолированное влияние каждого фактора на результат, т.к. другие факторы применяются на неизменном уровне).

Парные уравнения регрессии

Уравнение регрессии позволяет сделать вывод, что с увеличением доли ГКО в активах на 1% пункт, доля прибыли по всем активам увеличивается в среднем на 0,329 % пунктов.

r_yx₁ = 0,718 – связь прямая и достаточно сильная

r ²_yx1 = 0,516 – при условии др. не считается

с увеличением отношения непроцентных доходов к процентным доходам на 1% пунктов, доля прибыли по всем активам увеличивается в среднем на 1,215%

r_yx2 = 0,516

r ²_yx2 = 0,158

r_yx₃ = 0,241 – связь непрямая и слабая

r ²_yx3 = 0,058

С увеличением коэффициента полной ликвидности банка на 1 % доля прибыли по всем активам увеличивается в среднем на 4,788%

Вариация х₃ объясняет вариацию у на 5,8 %

3. Построим матрицу парных коэффициентов вариации для выявления явно коллинеарных факторов.

Таблица 3. Матрица парных коэффициентов корреляции.

Признаки	у	х₁	х₂	х₃
у
х₁	0,718
х₂	0,516	0,462
х₃	0,241	0,0053	0,134

Явно коллинеарных факторов нет, т.к. коэффициенты парной корреляции между факторными признаками не превышают 0,7.

Способы определения коэффициентов условно чистой регрессии.

Для определения данных коэффициентов рассчитаем определители

i – номер наблюдения,

j – номер фактора.

Результаты занесем в вспомогательную таблицу.

Таблица 4. Расчет многофакторной регрессии.

№ банк	Dх₁	Dх₂	Dх₃	Dу	D²х₁	D²х₂	D²х₃	D²у	DуDх₁	DуDх₂	DуDх₃	Dх₁Dх₂	Dх₁Dх₃	Dх₂Dх₃
	0,5	-0,04
	27,5	0,66
	-13,1	0,84
	-9,4	-0,04
	-18,1	0,03
	-7,7	-0,34
	5,7	-0,16
	7,5	-0,24
	-10,0	-0,23
	-21,3	0,05
	-26,9	-0,20
	4,8	-0,13
	6,9	-0,23
å	-					64,11	1,52			77,92	7,277	197,82	0,55	1,320

Для определения коэффициентов условно чистой регрессии рассчитаем систему нормальных уравнений

Из вспомогательной таблицы № 4 подставляем необходимые данные

Уравнение многофакторной регрессии примет вид

а = 8,01-(0б39q23,5+0,138q2,39+4,552q1,31)=5,713

Подставляя в данное уравнение значение факторов х₁, х₂, х₃ получим теоретическое значение результативного признака.

Т.о. в отличии от коэффициентов парной регрессии, коэффициенты условно чистой регрессии измеряют влияние фактора, абстрагируясь от связей вариации этого фактора с вариациями другого фактора, включенных в модель.

Коэффициенты условно чистой регрессии, т.е. b_j являются именованными числами, выраженными в различных единицах измерения, в тех же единицах, что и соответствующие им факторы. Поэтому они не сравнимы друг с другом, т.е. по их величине нельзя сделать вывод, какой из факторов в наибольшей степени влияет на результат. Для приведения их в сравнимый вид применяется то же преобразование, что и для получения парных коэффициентов. Полученную величину называют стандартизированным коэффициентом регрессии.