Отношения и функции

Отображение f множества X в множество Y считается заданным, если каждому элементу x из X сопоставлен ровно один элемент y из Y, обозначаемый f(x).

Множество X называется областью определения отображения f, а множество Y – областью значений. Множество упорядоченных пар

Г_f= {(x, y) | x∈X, y∈Y, y = f(x)}

называют графиком отображения f. Непосредственно из определения вытекает, что график отображения f является подмножеством декартова произведения X×Y:

Г_f⊂ X×Y.

Строго говоря, отображение – это тройка множеств (X, Y, G) такая, что G⊂ X×Y, и каждый элемент x из X является первым элементом ровно одной пары (x, y) из G. Обозначая второй элемент такой пары через f(x), получаем отображение f множества X в множество Y. При этом G=Г_f. Если y=f(x), мы будем писать f:x→y и говорить, что элемент x переходит или отображается в элемент y; элемент f(x) называется образом элемента x относительно отображения f. Для обозначения отображений мы будем использовать записи вида f: X→Y.

Пусть f: X→Y – отображение множества X в множество Y, а A и B – подмножества множеств X и Y соответственно. Множество f(A)={y| y=f(x) для некоторого x∈A} называется образоммножества A. Множество f ⁻¹(B)={x| f(x) ∈B}

называется прообразом множества B. Отображение f: A→Y, при котором x→f(x) для всех x∈A, называется сужениемотображения f на множество A; сужение будет обозначаться через f|_A.

Пусть имеются отображения f: X→Y и g: Y→Z. Отображение X→Z, при котором x переходит в g(f(x)), называется композицией отображений f и g и обозначается через fg .

Отображение множества X в X, при котором каждый элемент переходит сам в себя, x→x , называется тождественными обозначается через id_X.

Для произвольного отображения f: X→Y имеем id_X⋅f = f⋅id_Y.

Отображение f: X→Y называется инъективным, если для любых элементов из и следует, что . Отображение f: X→Y называется сюръективным, если всякий элемент y из Y является образом некоторого элемента x из X, то есть f(х)=у. Отображение f: X→Y называется биективным, если оно одновременно инъективно и сюръективно. Биективное отображение f: X→Y обратимо. Это означает, что существует отображение g: Y→X, называемое обратным к отображению f, такое, что g(f(x))=x и f(g(y))=y для любых x∈X, y∈Y. Отображение, обратное к отображению f, обозначается через f ⁻¹.

Обратимое отображение f: X→Y устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами множеств X и Y. Инъективное отображение f: X→Y устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством X и множеством f(X).

Примеры. 1) Функция f:R→R_{>0, f}(x)=e^x, устанавливает взаимно однозначное соответствие множества всех действительных чисел Rс множеством положительных действительных чисел R_>0. Обратным к отображению f является отображение g:R_>0→R, g(x)=ln x.

2) Отображение f:R→R_≥₀, f(x)=x², множества всех действительных Rна множество неотрицательных чисел R_≥₀сюръективно, но не инъективно, и поэтому не является биективным.

Свойства функции:

1. Композиция двух функций есть функция, т.е. если , то .

2. Композиция двух биективных функций есть биективная функция, если , то .

3. Отображение имеет обратное отображение тогда и

тогда и только тогда, когда f –биекция, т.е. если , то .

Определение.n – местным отношением, или n – местным предикатом Р, на множествах А₁;А₂ ;…;А_n называется любое подмножество декартова произведения .

Обозначение n - местного отношения P(x₁;x₂;…;x_n). При n=1 отношение Р называется унарным и является подмножеством множества А₁. Бинарным (двуместным при n=2) отношением называется множество упорядоченных пар.

Определение. Для любого множества А отношение называется тождественным отношением, или диагональю, а - полным отношением, или полным квадратом.

Пусть Р – некоторое бинарное отношение. Тогда областью определения бинарного отношения Р называется множество для некоторого y}, а областью значений – множество для некоторого x}. Обратным к Р отношением называется множество .

Отношение Р называется рефлексивным, если оно содержит все пары вида (x,x) для любого x из X. Отношение Р называется антирефлексивным, если оно не содержит ни одной пары вида (x,x). Например, отношение x≤y рефлексивно, а отношение x<y антирефлексивно.

Отношение Р называется симметричным, если вместе с каждой парой (x,y) оно содержит также и пару (y,x). Симметричность отношения Р означает, что Р=Р^–1.

Отношение Р называется антисимметричным , если (x;y)и (y;x), то x=y.

Отношение R называется транзитивным, если вместе с любыми парами (x,y) и (y,z) оно содержит также и пару (x,z), то есть из xРy и yРz следует xРz.

Свойства бинарных отношений:

Пример.Пусть А={x/x – арабская цифра}; Р={(x;y)/x,yA,x-y=5}. Найти D;R;P^-1.

Решение.Отношение Р можно записать в виде Р={(5;0);(6;1);(7;2);(8;3);(9;4)}, тогда для него имеем D={5;6;7;8;9}; Е={0;1;2;3;4}; P^-1={(0;5);(1;6);(2;7);(3;8);(4;9)}.

Рассмотрим два конечных множества и бинарное отношение . Введем матрицу бинарного отношения Р следующим образом: .

Матрица любого бинарного отношения обладает свойствами:

1. Если и , то , причем сложение элементов матрицы осуществляется по правилам 0+0=0; 1+1=1; 1+0=0+1=1, а умножение почленно обычным образом, т.е. по правилам 1*0=0*1=0; 1*1=1.

2. Если , то , и матрицы умножаются по обычному правилу умножения матриц, но произведение и сумма элементов при умножении матриц находится по правилам п.1.

3. .

4. Если , то и

Пример. Бинарное отношение изображено на рис.2 Его матрица имеет вид .

Рис.2

Решение.Пусть , тогда ;

; .

Пусть Р – бинарное отношение на множестве А, . Отношение Р на множестве А называется рефлексивным, если , где звездочками обозначены нули или единицы. Отношение Р называется иррефлексивным, если . Отношение Р на множестве А называется симметричным, если для и для из условия следует, что . Это значит, что . Отношение Р называется антисимметричным, если из условий и следует, что x=y, т.е. или . Это свойство приводит к тому, что у матрицы все элементы вне главной диагонали будут нулевыми (на главной диагонали тоже могут быть нули). Отношение Р называется транзитивным, если из и следует, что , т.е. .

Пример. Дано отношение Р и .Здесь на главной диагонали матрицы стоят все единицы, следовательно, Р – рефлексивно. Матрица несимметрична, тогда несимметрично и отношение Р

Т.к. не все элементы, стоящие вне главной диагонали, нулевые, то отношение Р не антисимметрично.

, т.е. , следовательно отношение Р – нетранзитивно.

Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение называется отношением эквивалентности. Для обозначения отношений эквивалентности принято использовать символ ~. Условия рефлексивности, симметричности и транзитивности можно записать так:

1. (

Пример.1) Пусть X – множество функций, определенных на всей числовой прямой. Будем считать, что функции f и g связаны отношением ~, если они принимают одинаковые значения в точке 0, то есть f(x)~g(x), если f(0)=g(0). Например, sinx~x, e^x~cosx. Отношение ~ рефлексивно (f(0)=f(0) для любой функции f(x)); симметрично (из f(0)=g(0) следует, что g(0)=f(0)); транзитивно (если f(0)=g(0) и g(0)=h(0), то f(0)=h(0)). Следовательно, ~ является отношением эквивалентности.

2) Пусть ~ – отношение на множестве натуральных чисел, при котором x~y, если x и y дают одинаковые остатки при делении на 5. Например, 6~11, 2~7, 1~6. Легко видеть, что это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно и, значит, является отношением эквивалентности.

Отношением частичного порядка называют бинарное отношение на множестве, если оно рефлексивно, антисимметрично, транзитивно, т.е.

1. - рефлексифность;

2. - антисимметричность;

3. - транзитивность.

Отношением строгого порядка называется бинарное отношение на множестве, если оно антирефлексивно, антисимметрично, транзитивно. Оба эти отношения называются отношениями порядка. Множество, на котором задано отношение порядка, может быть: полностью упорядоченным множеством или частично упорядоченным. Частичный порядок важен в тех случаях, когда мы хотим как-то охарактеризовать старшинство, т.е. решить при каких условиях считать, что один элемент множества превосходит другой. Частично упорядоченное множество называется линейно упорядоченным, если в нем нет несравнимых элементов, т.е. выполняется одно из условий или . Например, множества с естественным порядком на них являются линейно упорядоченными.