Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в собственном полупроводнике

Равновесное состояние полупроводников

Тепловое равновесие — это динамическое состояние, при котором в каждой точке полупроводника и для произвольного момента времени любой процесс возникновения каких-либо носителей уравновешивается обратным процессом их гибели. В состоянии теплового равновесия температура сохраняется постоянной, и между различными точками объема полупроводника нет никаких перетоков энергии, импульса или массы.

 

Для расчета равновесной концентрации электронов и дырок необходимо знать:

· плотность разрешенных энергетических уровней N_c, N_v;

· вероятность их заполнения электронами в зоне проводимости и в валентной зоне.

 

Вероятность заполнения разрешенных уровней определяется функцией Ферми - Дирака:

, (1)

где E_F – энергия уровня Ферми.

 

Распределение Ферми-Дирака

 

Уровень Ферми – такой энергетический уровень в запрещенной зоне ПП, вероятность заполнения которого электронами при любой температуре равна 0.5.

 

 

Фундаментальным свойством уровня Ферми является то, что для любой системы материалов уровень Ферми в состоянии термодинамического равновесия постоянен.

 

kT/q_e ,В – тепловой потенциал,

где k – постоянная Больцмана, Т,К-абсолютная температура,

k=1,38∙10^-23Дж/K=8,62∙10^-5эВ/K

при Т=300К kT/q_e = 0.0259 В,

q_e-заряд электрона,

q_e=1 при k=8,62∙10^-5эВ/K

q_e=1,6∙10^-19Кл при k=1,38∙10^-23Дж/K

Тогда вероятность заполнения энергетических уровней в зоне проводимости будет равна

(2)

Вероятность отсутствия электрона на энергетическом уровне в валентной зоне, то есть вероятность возникновения дырки, будет равна

(3)

 

Если известны N_c(E), N_v(E) и Р(Е), 1- Р(Е), то можно рассчитав энергетическую плотность электронов и дырок F_n(E) и F_p(E) рассчитать их концентрацию n и p:

 

(4)

 

(5) ,

где E_c – энергия дна зоны проводимости; E_v – энергия потолка валентной зоны.

 

Логарифмируя выражения (4) и (5), можно найти положение уровня Ферми в собственном полупроводнике:

. (6)

Это значит, что уровень Ферми в собственном полупроводнике лежит примерно посредине запрещенной зоны.

Расчет концентрации электронов и дырок можно вести по формуле:

(7)

Чем больше ширина запрещенной зоны, тем меньше концентрация собственных носителей заряда. С повышением температуры концентрации электронов и дырок возрастают по экспоненциальному закону.