Дифференциальное уравнение конвективноготеплообмена

При конвективном теплообмене тепло распространяется одновременно теплопроводностью и конвекцией. Уравнение переноса тепла теплопроводностью , где - это локальное изменение температуры неподвижного элемента среды. При конвективном переносе тепла среда движется и в данном случае изменение температуры элемента среды запишется:

. Т.о. дифференциальное уравнение конвективного переноса тепла имеет вид и называется уравнением Фурье- Кирхгофа:

( 13 )

Уравнение ( 11 )выражает распределение температур в движущейся жидкости. В данном уравнении t является функцией различных переменных, в том числе скорости и плотности жидкости. Поэтому уравнение (11) должно рассматриваться совместно с уравнениями движения Эйлера и уравнением неразрывности. Однако полученную систему уравнений аналитически решить невозможно. Поэтому для практического использования уравнение подобно преобразовывают с учетом условий однозначности, т.е. представляют в виде функции от критериев подобия.

Тепловое подобие

У поверхности твердого тела, находящегося в движущейся жидкости всегда имеется пограничный слой толщиной d через который тепло передается теплопроводностью в направлении перпендикулярном движению потока. Рассмотрим подобие граничных условий. По закону Фурье количество тепла проходящее в пограничном слое толщиной d через площадь dF за время dt составляет .

Количество тепла, проходящее от стенки в ядро потока, определяется по з.Ньютона

dQ=adFdtDt, где Dt=t_ст-t_ж.

При стационарном режиме теплообмена количество тепла, проходящее через пограничный слой и ядро потока равны:

=adFdt (t_ст-t_ж) =a (t_ст-t_ж).

Для подобного преобразования разделим правую часть на левую и отбросим знаки математических операторов; dзаменим определяющим размером (эль). Получим безразмерный критерий Nu = a /l -критерий Нуссельта. Критерий Нуссельта характеризует интенсивность теплообмена на границе раздела фаз.Nu - является мерой соотношения толщины пограничного слоя d и определяющего геометрического размера (если это труба, то ее диаметр).

Рассмотрим условия подобия в потоке. Возьмем уравнение Фурье-Кирхгофа

ß ß ß

(1) (2) (3)

Разделим (1) на (3) получим безразмерный комплекс . Чтобы не оперировать с дробными числами, берут обратную величину=F₀ - критерий Фурье - характеризует связь между скоростью изменения температурного поля, размерами и физическими характеристиками среды в нестационарных тепловых процессах.

Разделим (2) на (3) –получим – критерий Пекле- характеризует отношение количеств тепла, распространяемых в потоке жидкости конвекцией и теплопроводностью. Критерий Pe может быть представлен как произведение Re*Pr = Pe; .

Критерий Прандтля Pr – характеризует поле теплофизических величин потока жидкости и находится только по теплофизическим параметрам жидкости . В тех случаях, когда теплообмен осуществляется в результате естественной конвекции, процесс характеризуется критерием Архимеда Ar = (gl³/n²)*(r-r₀)/r, где r,r₀ –плотности холодной и нагретой жидкости. Поэтому комплекс (r-r₀)/r заменяют на bDt. Получают Критерий Грасгофа , ( где b - коэффициент объемного расширения жидкости, - разность температур стенки и жидкости). – характеризует гидродинамический режим потока жидкости в условиях естественной конвекции, происходящей под влиянием разности плотностей нагретой и холодной жидкости.

Общее критериальное уравнение теплообмена

f( Re, Gr, Еи,Nu, Pr, F₀ )= O.

Для установившегося процесса f ( Nu, Re, Gr, Pr, ) = O или

Nu = f ( Re, Gr, Pr, ).

При вынужденном движении жидкости, когда естественной конвекцией можно пренебречь Nu = f ( Re, Pr); при свободной конвекции Nu = f( Gr , Pr) . При решении конкретных задач по найденному из соответствующего критериального уравнения значения Nu легко определить коэффициент теплоотдачи a =.

Физические параметры в Nu, Re, Pr подставляются при средней температуре жидкости, а в Pr_ст при t стенки. В качестве определяющей скорости – скорость в самом узком сечении. В качестве определяющей температуры, по которой находятся физические параметры – при вынужденном движении в трубах и каналах, а также при вынужденном обтекании пучка труб берут среднюю температуру жидкости; при кипении и конденсации пара - температуру насыщения.Определяющий размер для круглой трубы – ее диаметр,для каналов искривленного и сложного сечения - эквивалентный диаметр.