Визначити та проаналізувати шляхи виникнення і розвитку поняття числа в історії людства.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПОРТФОЛИО

Розглядаючи питання формування поняття натурального числа у дітей, потрібно мати чітке уявлення про розвиток цього поняття в історичному аспекті — філогенезі. Вивчення історії математики, зокрема періоду її зародження, дає можливість зрозуміти основні закономірності виникнення перших математичних понять: про безліч, числі, величиною, про арифметичні дії, системи числення та ін. і використовувати ці закономірності з урахуванням передового педагогічного досвіду та сучасних досліджень з різних проблем навчання математики.

Як показують наукові дані з історії математики, поняття натурального числа виникло на ранніх стадіях розвитку людського суспільства, коли в зв'язку з практичною діяльністю виникла потреба якось кількісно оцінювати сукупності. Спочатку кількість елементів у множинах не відокремлювалося від самих множин, сприймалося і утримувалося в уявленні людини з усіма якостями, просторовими і кількісними ознаками. Людина не тільки оцінювала сукупність по відношенню до її цілісності (всі чи не всі предмети є), а могла сказати, яких саме предметів не вистачає. Часто сукупність утримувалася в уявленні саме тому, що окремі предмети чітко відрізнялися за своїми ознаками.

На цій стадії розвитку поняття числа являло собою окремі числа-якості та числа-якості конкретних сукупностей предметів. Зараз вже немає народів, рахунок яких зупинився б на першій стадії — чисел-властивостей.

З розвитком соціально-економічного життя суспільства людині доводилося не тільки сприймати готові сукупності, але і створювати сукупності певної кількості. Для цього предмети певної сукупності по одному зіставлялися безпосередньо з предметами іншій сукупностей або безпосередньо за допомогою деякого еталона — карбів, вузликів, частини тіла людини та ін. Потім з допомогою такого ж зіставлення створювалася нова сукупність. Так практично людина оволодівала операцією встановлення рівності, взаємно-однозначної відповідності.

Суттєвим у цьому процесі є те, що різні величини приводяться у відповідність з одним стандартним безліччю, наприклад з певною кількістю частин тіла людини. Це і було необхідною передумовою переходу до рахунку. Однак число як загальна властивість равночисленных множин ще не сприймалась. Людина не називала число, а казала: стільки, скільки пальців на руці, і т. п. Цей період в історії розвитку натурального числа називається стадією рахунку на пальцях.

На цій стадії рахунок зазвичай починали з мізинця лівої руки, перебирали всі пальці, потім переходили до зап'ястя, ліктя, плеча і т. д. до мізинця правої руки, після чого, якщо сукупність не вичерпувалася, йшли у зворотному порядку. У остров'ян Торресового протоки рахунок з допомогою частин людського тіла був можливий до 33. Якщо сукупність мала більше 33 елементів, використовували палички. Саме в цьому випадку, коли вичерпувалася можливість використання частин тіла, починали користуватися паличками (причому "всі палички були приблизно однакові). Це дає нам ключ до розуміння початкового призначення такої «живий шкали». Очевидно, спочатку вона була потрібна не для індивідуалізації чисел, виділення кожного окремого числа, а лише для порівняння, встановлення взаємно-однозначної відповідності між предметами обох сукупностей.

Для проведення арифметичних операцій людина використовувала камінчики або зерна маїсу. Число сприймалося як те загальне, що мають між собою равночисленные сукупності. Незважаючи на незвичайну примітивність цього способу рахунку, він зіграв виняткову роль в розвитку поняття числа. Суттєвою рисою цього способу є те, що всі безліч, що перераховуються відображаються за допомогою однієї системи, приведеної з ними у відповідність.

Видатний російський вчений і мандрівник М. М. Миклухо-Маклай (1846-1888) описує життя папуасів — жителів Нової Гвінеї, улюблений спосіб рахунки яких полягав у тому, що папуас загинає один за іншим пальці руки, при цьому вимовляє певний звук, наприклад «бе, бе, бе,...». Дорахувавши до 5, він говорить «ибон-бе» (рука), потім загинає пальці іншої руки, знову за вторяет «бе, бе, бе, ...», поки не дійде до «ибон-алі» (дві руки). Тоді він іде далі, поки не дійде до «самба-алі» (дві ноги). Якщо потрібно рахувати далі, папуас користується пальцями рук і ніг кого-небудь іншого.

У процесі розвитку суспільства все більше і більше сукупностей доводилося перераховувати, просте встановлення равночисленности і рахунку на пальцях вже не могло задовольняти нові потреби суспільства. Але обмеження ряду чисел не давало можливості вести рахунок значно більших сукупностей.

Наступний етап розвитку рахунку та поняття натурального числа пов'язаний з зародженням системи числення, яка спирається на групування предметів при рахунку. Нову систему рахунки можна назвати груповий, або рахунком з допомогою чисел-сукупностей. Ідея вважати групи була підказана самим життям: деякі предмети завжди зустрічаються на практиці постійними групами (парами, трійками, десятками, п'ятірками).

У тубільців Флориди «на-куа» означає 10 яєць, «на-бана-ра» — 10 кошиків з їжею, але окремо «на», якому б відповідало число 10, не використовується. На одному з діалектів індійців західній частині Канади слово «тха» означає 3 речі, «тхе» — 3 рази, «тха-тоэн» — в трьох місцях та ін. Але слова, яке означало б абстрактне число 3, у них немає. Наявність у певних сукупностей саме цієї частини свідчить, що люди вже починають примічати та відображати у своїй мові групи, що мають загальні властивості. На цій стадії розвитку рахунку не кожній групі приписується число, а тільки ті групи є числами-сукупностями, які часто зустрічаються в господарської або іншої діяльності племені.

Числа-сукупності стали прообразами наших вузлових чисел. Цю стадію розвитку числових уявлень пережило людство. У всіх мовах, у тому числі й слов'янською, є такі граматичні форми, як одинична, двоїста і множинна. Слово, яке позначає кількість, має різне значення в залежності від того, йде мова про одного, двох або більшої кількості предметів. У деяких мовах є особлива форма троїстості. Ці мовні форми — пережитки тій віддаленій епохи розвитку, коли були освоєні людством тільки числа «один», «два» і «три».

Під впливом обміну одна з груп предметів стає мірою для інших, своєрідним еталоном. З цією групою починають порівнюватися та інші. Виділення групи, яка використовувалася для порівняння інших поступово призвело до того, що пізніше почала усвідомлюватися кількісна сторона цієї групи. Кількісна характеристика групи предметів поступово набуває самостійного значення. Так виникло поняття числа і його назву, тобто поняття про конкретних числах. Числа використовувалися насамперед для практичних цілей людей: рахунок худоби, шкур та ін. Поступово ці числа почали використовуватися для перераховування деяких множин. Так, наприклад, виникло слово-число сорок. В російських народних легендах йому належить особлива роль. Корінь слова сорок, або соро-чок, той же самий, що і в слові сорочка. На шубу йшло 40 штук соболів. Відомо, що соболині шкурки грали роль одиниці цінності. Сорок, або сорочок, соболів складали цілу шубу і також були одиницею цінності.

Перші числа були своєрідними «островами», визначеними орієнтирами в рахунку. Рахунок п'ятірками, десятками, дюжинами деяких предметів, тобто числа-сукупності були вузловими числами, ця назва закріпилася в арифметиці. Вузлові числа — це числа, які мають індивідуальні, не розкладаються на складові числа, назви. Решта чисел називають алгорифмическими. Вони виникли набагато пізніше і зовсім по-іншому. Алгорифмічні числа з'явилися в результаті операцій з вузловими числами. Це своєрідні сполучні нитки між вузловими числами.

У багатьох мовах у назвах алгоритмічних чисел використовуються спеціальні слова-класифікатори для характеристики певного способу дій з конкретною безліччю. Так, у мові індіанців Північної Америки, а також племен Британської Колумбії викладання перших двох десятків предметів не супроводжується цими словами-класифікаторами. А рахунок наступних одиниць словесно оформляється як результат дії. Наприклад, число 26 позначається так: «двічі на десять я кладу ще шість». Слова-класифікатори не супроводжують чисел, кратних десяти. Таким чином, ці терміни існують лише для того, щоб розміщувати за розрядами одиниці, які йдуть за десятками, але не самі десятки.

Операції з числами спочатку були не арифметичними, а руховими. Сліди цього збереглися в багатьох мовах, у тому числі і в російській мові. Так, числа від одинадцяти до дев'ятнадцяти вимовляються як відповідне число одиниць, покладених на десять: один на двадцять п'ять на дцять і т. д. В цьому випадку частку на слід розуміти саме як належне. Пізніше виникли арифметичні операції.

Поступово визначився послідовний ряд натуральних чисел. Основну роль у створенні алгорифмических чисел грала операція додавання, хоча іноді використовувалося і віднімання, ще рідше множення. Особливо це простежується в римській нумерації: VI=5+1; ХС=100-10 і т. д. Освіта алгорифмических чисел на основі використання арифметичних операцій знайшло відображення в назвах деяких чисел в українському, білоруському, французькій та інших мовах.

Однак числовий ряд на цій стадії ще не був однорідним і нескінченним. Довгий час він був обмеженим (кінцевим). Останніми числами в ряду були і 3, і 7, 12, 40 та ін Найбільш освоєне число натурального ряду, яке межувало з нескінченністю, часто набувало особливий ореол незвичайного і, очевидно, було основою для виникнення заборон, пов'язаних з цими числами. Деякі з цих повір'їв збереглися до теперішнього часу, такими числами були: 7, 13, 40 і ін

Число 40 в легендах багатьох східних народів відіграє особливу роль. Вираз сорок сороків, часто використовується в російській мові, є позначенням дуже великого, нескінченно великого числа.

Що стосується рахунку сороками, то є і ще одне припущення, що це виходить від рахунку за суглобів пальців. Сибірські звіролови вважали великим пальцем по двом суглобам решти чотирьох пальців. Таким чином досчитывали до сорока. Використання третього суглоба у цьому процесі вважалося незручним.

Поступово вузлові і алгоритмічні числа заповнювали ряд, який є нескінченним. Натуральних чисел нескінченно багато, серед них немає найбільшого. Яке б велике число ми не взяли, якщо додамо до нього одиницю, то отримаємо ще більше число. Ця нескінченність числового ряду створює значні труднощі при логічному осмисленні арифметики.