Длина волны и частота электронов, протонов и прочих
Интерференция амплитуд вероятности
Решение задач
Задача 1. Как изменяется со временем вероятность застать фотон в состоянии с энергией E? Как вы думаете, почему такие состояния называют стационарными?
Задача 2. Длина волны амплитуды вероятности распространяющегося фотона равна 400 нм. На какой угол повернуты относительно друг друга стрелки амплитуды вероятности в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии 100 нм?
Как показывает опыт, не только фотоны, но и все прочие частицы обладают волновыми свойствами. Точно так же, как и в случае фотонов состояние движения частицы описывается распределением амплитуд вероятности с теми же соотношениями между корпускулярными и волновыми характеристиками движения: энергией и импульсом, с одной стороны, и частотой и волновым числом - с другой. E=ћw, p=ћk. При этом оказывается, что в нерелятивистском случае между импульсом и энергией частиц справедливо классическое соотношение
(1)
где m масса частицы, а в релятивистском -
(2)
Задача 1. Чему равна длина волны амплитуды вероятности электрона с кинетической энергией E=1 эВ?
Задача 2. То, что состояние движения частицы описывается распределением амплитуд вероятности, является законом природы, применимым для любой частицы. Почему тогда никто никогда не наблюдал дифракцию на щели пылинок массой 10-6 г, центр масс которых движется со скоростью 1 см/с?
Решение. Импульс пылинок равен
p=m×v=10-11 кг×м/с,
поэтому волновое число k центра масс -
Длина волны амплитуды вероятности, описывающей состояние движения центра масс пылинки, равна, примерно, 6.6×10-23 м. Ширина щели, при пропускании через которую пучка пылинок можно было бы ожидать различимые дифракционные максимумы, должна иметь этот же порядок величины, то есть быть столь малой, что в нее не только пылинка, даже протон или любая другая элементарная частица не пролезли бы. Это в некоторой степени объясняет, почему при движении макроскопических тел (пылинка, как бы малой она не была, является макроскопическим телом) не наблюдаются квантовые эффекты, родственные дифракции на отверстии.
Задача 3. Пучок электронов рассеивается на неподвижных протонах. При энергиях электронов в несколько МэВ наблюдается монотонно убывающее распределение по углам рассеянных электронов. При энергиях, превышающих несколько ГэВ, в угловом распределении рассеянных электронов наблюдаются максимумы. О чем говорит этот факт? Можно ли из результатов этих опытов узнать размеры протона?
Указание. Воспользуйтесь результатами анализа тени от непрозрачного диска в параллельном пучке света.
Решение. Из решения этой задачи можно получить представление о том, как из экспериментов по рассеянию частиц узнают о их структуре. Попутно можно догадаться, для чего нужны ускорители заряженных частиц.
Волны амплитуды вероятности распространяются аналогично электромагнитной волне. Как и для световой волны, для нее можно применить метод зон Френеля. Тот факт, что при энергии в несколько МэВ распределение рассеянных электронов по углам монотонное, говорит о том, что волна амплитуды вероятности каждого электрона рассеивается на протоне аналогично рассеянию электромагнитной волны на препятствии, закрывающем меньше одной зоны Френеля.
Возникновение максимумов в угловом распределении рассеянных электронов при энергии, превышающей несколько ГэВ, говорит о том, что волна амплитуды вероятности каждого электрона дифрагирует на протоне аналогично дифракции электромагнитной волны на препятствии, закрывающем более одной зоны Френеля. Значит, разность хода волны амплитуды вероятности в направлении максимума имеет порядок длины волны.
Если d - поперечник протона, то разность хода волны от краев препятствия в направлении a равна d sina. Из теории дифракции следует, что критическое условие проявления немонотонности рассеянной волны амплитуды вероятности электрона сводится к тому, что разность хода волнового процесса от различных точек препятствия по порядку величины равно длине волны, то есть
d sina~l. (7)
При энергии в 1 ГэВ электрон является ультрарелятивистским, поэтому можно считать, что Eкин»E»pc и
(8)
Отсюда и из соотношения (7) следует, что протон имеет размер порядка 10-15м.